後漢四分曆
1.1
章帝元和二年(85)改行四分曆,文帝後元三年庚辰(前 161)爲入元之年。
- 【1 秊】365 1/4 = 1461/4 日,1461:周天,4:日法,1461 ÷ 3 = 487:通法。365 1/4 - 360 = 21/4
- 【1 章】19 秊設 7 閏月,235 月 6939 3/4 日。19:章法,7:章閏,235:章月。235 × 1461 = 343335:大周。每章日月相會 235 周,月行 254 周。( 1461/4 × 19 )/ 254 = 27759/1016 ≈ 27.3218(近點月),1016:月周
- 【1 蔀】4 章 76 秊 940 月 27759 日。76:蔀法,940:蔀月,27759:蔀日
- 【1 紀】20 蔀 1520 秊 18800 月。1520:紀法,18800:紀月
- 【1 元】3 紀4560 秊。4560:元法
距上元年數 % 4560 = 入元年數。入元年數 % 1520 = 入紀年數。入紀年數 % 76 = 入蔀年數。《三統曆》算外 爲所求年太歲所在,《四分曆》算上 爲所求年太歲所在,因爲《三統曆》上元以來年數不包括所求年,四分曆包括。
《殷曆》二十蔀首表(再友情提示一下,「天」「地」「人」一欄是歲名,「蔀首」一欄是日名):
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
蔀首 | 甲子 | 癸卯 | 壬午 | 辛酉 | 庚子 | 己卯 | 戊午 | 丁酉 | 丙子 | 乙卯 | 甲午 | 癸酉 | 壬子 | 辛卯 | 庚午 | 己酉 | 戊子 | 丁卯 | 丙午 | 乙酉 |
天元 | 甲寅 | 庚午 | 丙戌 | 壬寅 | 戊午 | 甲戌 | 庚寅 | 丙午 | 壬戌 | 戊寅 | 甲午 | 庚戌 | 丙寅 | 壬午 | 戊戌 | 甲寅 | 庚午 | 丙戌 | 壬寅 | 戊午 |
地元 | 甲戌 | 庚寅 | 丙午 | 壬戌 | 戊寅 | 甲午 | 庚戌 | 丙寅 | 壬午 | 戊戌 | 甲寅 | 庚午 | 丙戌 | 壬寅 | 戊午 | 甲戌 | 庚寅 | 丙午 | 壬戌 | 戊寅 |
人元 | 甲午 | 庚戌 | 丙寅 | 壬午 | 戊戌 | 甲寅 | 庚午 | 丙戌 | 壬寅 | 戊午 | 甲戌 | 庚寅 | 丙午 | 壬戌 | 戊寅 | 甲午 | 庚戌 | 丙寅 | 壬午 | 戊戌 |
後漢《四分曆》二十蔀首表:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
蔀首 | 甲子 | 癸卯 | 壬午 | 辛酉 | 庚子 | 己卯 | 戊午 | 丁酉 | 丙子 | 乙卯 | 甲午 | 癸酉 | 壬子 | 辛卯 | 庚午 | 己酉 | 戊子 | 丁卯 | 丙午 | 乙酉 |
天元 | 庚辰 | 丙申 | 壬子 | 戊辰 | 甲申 | 庚子 | 丙辰 | 壬申 | 戊子 | 甲辰 | 庚申 | 丙子 | 壬辰 | 戊申 | 甲子 | 庚辰 | 丙申 | 壬子 | 戊辰 | 甲申 |
地紀 | 庚子 | 丙辰 | 壬申 | 戊子 | 甲辰 | 庚申 | 丙子 | 壬辰 | 戊申 | 甲子 | 庚辰 | 丙申 | 壬子 | 戊辰 | 甲申 | 庚子 | 丙辰 | 壬申 | 戊子 | 甲辰 |
人紀 | 庚申 | 丙子 | 壬辰 | 戊申 | 甲子 | 庚辰 | 丙申 | 壬子 | 戊辰 | 甲申 | 庚子 | 丙辰 | 壬申 | 戊子 | 甲辰 | 庚申 | 丙子 | 壬辰 | 戊申 | 甲子 |
1.2
1.2.1
1.2.1.1 【節氣】每年減去 6 甲子,餘 5 1/4 = 21/4 日。21:沒數。或 365 1/4 ÷ 24 = 15 7/32 ,7:沒法,32:中法。7 × 24 = 168:日餘,168 ÷ 32 = 5 1/4 = 21/4 日
1.2.1.2 【閏月位置】(19 - 閏餘) × 12/7 = 月數 餘數/7 。月數 + 1 卽閏月所在。若餘數 ≥ 4,則閏月可在前也可在後,由中氣決定,因爲閏月沒有中氣。例:餘數 = 5 ,6 月中氣爲大暑,若大暑在弟 6 月,則閏六月,若在弟 7 月,則閏五月
1.2.1.3 【弦望】每月 29 499/940 日,半月 14 719.5/940 日,四分之一月 7 359.75/940 日
1.2.1.4 【朔望時刻】每日分爲 100 刻,朔望小餘 × 100/940 = 刻數 刻餘/940 。所在節氣小於夜漏之半的在前日,大於的在後日
1.2.2
1.2.2.1 【冬至日名】每年後退 21/4 位,69 4/7 = 487/7 日後退一位(一沒),4 秊 1461 日後退 21 位。487:通數。7 沒 = 1 滅,3 滅 = 4 秊。已知一沒求後一沒,大小餘分別加 69、4 卽可
1.2.2.2 【冬至積日大餘】(入蔀年 - 1) × 21/4 = 大餘 小餘/4 。算外。求次年冬至,則大餘 +5 ,小餘 +1 。每節氣相隔 15 7/32 日,大小餘分別相加卽可(注意分母是 32 而非 4)
1.2.2.3 【冬至前第一箇沒日】(入蔀年 - 1) × 21/4 = 積沒 沒餘/4 。積沒 × 69 4/7 = 大餘 小餘/7 (記得是從蔀首日開始算大餘)
1.2.2.4 【天正】(入蔀年 - 1) × 235/19 = 積月 閏餘/19(同 古代曆法入門之一 4.2.1)。例:漢順帝永建五年(130)距入元之年 291 秊(含當年),291 ÷ 76 = 3 63/76 ,天紀弟 4 蔀辛酉弟 63 秊,算上爲庚午
1.2.2.5 【天正朔日】積月 × 27759/940 = [(入蔀年 - 1) ×343335 - 1461 閏餘] ÷ 940 = 積日 小餘/940 ,積日 % 60 = 大餘。若小餘 ≥ 441 ,則爲大月
1.2.3
1.2.3.1 【合朔日所在天度】積日 + 小餘/940 + 21.25 - 365.25n (單位:°,1° = 940′)
1.2.3.2 【朔日夜半日所在天度】積日 + 21.25 - 365.25n
次日夜半所在天度:+ 1°
1.2.3.3【朔日夜半月所在天度】日每日行 1°,月每日行 13 7/19 ° 。254/19 積日 + 21.25 - 365.25n(單位:°,1° = 76′)
次日夜半月所在天度:+ 13°28′ 。次月(大月):+ 35°61′,次月(小月):+ 22°33′
1.2.3.4【朔日黎明日所在天度】1.2.3.2 + 4.7 夜漏數
1.2.3.5【朔日昬日所在天度】1.2.3.2 + 76 - 4.7 夜漏數
1.2.3.5【朔日黎明月所在天度】1.2.3.3 + 50.08 夜漏數
授時曆
根據張培瑜《中國古代曆法》第649—653頁。
1、日行盈縮
太陽在冬至速度最快,夏至速度最慢。冬至到夏至的半歲爲盈曆,夏至到冬至爲縮曆。
秋正__縮末限 88.909225日__冬至__盈初限 88.909225日__春正__盈末限 93.712025 日__夏至__**縮初限** 93.712025日 秋正
縮末限、盈初限等分爲6段,每段約14.82日,各段積差爲段末實行度與平行度之差。積差/積日=日平差、盈加分,卽平均每日多走的分數。各段日平差與後段日平差相減爲一差,一差與後段一差相減爲二差。
積日 | 積差 | 日平差 | 一差 | 二差 | |
---|---|---|---|---|---|
冬至 | 0 | 定差513.3822097763196113 | 泛平積差37.074492551251009 | 泛立積差=1.3801672436127973/2 | |
第1段 | 14.8182041666666667 | 7058.0250 | 泛平積476.3077172250686023 | 38.4546597948638063 | 1.3801672436127973 |
第2段 | 29.6364083333333333 | 12976.3920 | 437.853057430204796 | 39.8348270384766036 | |
第3段 | 44.4546125 | 17693.7462 | 398.0182303917281924 | ||
第4段 | 21148.7328 | ||||
第5段 | 23279.9970 | ||||
第6段 | 24026.1840 |
【泛立積差】0.69008362180639865
【平差】 (泛平積差-泛立積差)/段日 = 2.45538585649203063124214613275506563014130423474055
【立差】 泛立積差/段日^2=0.00314275533037503126
夏至前後
積日 | 積差 | 日平差 | 一差 | 二差 | |
---|---|---|---|---|---|
夏至 | 0 | 0 | 定差487.1014493604209279 | 泛平積差35.1429904539999003 | 泛立積差=1.3301131845139404/2 |
第1段 | 15.6186708333333333 | 7058.9904 | 泛平積451.9584589064210276 | 36.4731036385138407 | 1.3301131845139404 |
第2段 | 31.2373416666666667 | 12978.6580 | 415.4853552679071869 | 37.8032168230277811 | |
第3段 | 46.8560125 | 17696.6790 | 377.6821384448794058 | ||
第4段 | |||||
第5段 | |||||
第6段 |
【泛立積差】0.6650565922569702
【平差】 (泛平積差-泛立積差)/段日 = 2.20748194450453482997512859208836859517228445335591
【立差】 泛立積差/段日^2=0.002726280004867184
冬夏至後x日的日平差、盈縮差=定差x-平差x^2-立差x^3*10^-4
2、月行遲疾
一個近月點分為4個象,每象分為7段,每段分為12限,一轉周27.5546日有336限。每段0.9840928571428571日,每限0.0820077380952381日。
近地點開始,每象6.88865日
入轉日__疾初限__84限__疾末限__轉中168限13.7773日__遲初限__252限__遲末限__入轉日27.5546日
積限 | 積差分 | 限平差 | 一差 | 二差 | |
---|---|---|---|---|---|
初日 | 0 | 定差11.1100 | 泛平積差0.3840 | 0.0936 | |
第1段 | 12 | 128.7120 | 泛平積10.7260 | 0.4776 | 0.0936 |
第2段 | 24 | 245.9616 | 10.2484 | 0.5712 | |
第3段 | 36 | 348.3792 | 9.67720 | ||
第4段 | 48 | 432.5952 | |||
第5段 | 60 | 495.2400 | |||
第6段 | 72 | 532.9440 | |||
第7段 | 84 | 542.3376 |
泛立積差=0.0468
平差=0.0281
立差=0.000325
第x限遲疾積=定差x+平差x^2+立差x^3
遲疾差=定差x-平差x^2-立差x^3
3、參數
1281年辛巳爲曆元。
1日100刻,1刻100分,1分100秒,1秒100微。1秒=8.64s
【歲實、歲周】365.2425日=3652425分【半歲周】182.62125日【歲實消長】每百年歲實減少 0.0001日:365.2425 - 0.000001(公元年數-1281)【通餘、通盈分】歲實-360=5.2425日
【朔實、朔策】29.530593日【望策】朔策/2=14.7652965日【弦策】朔策/4=7.38264825日【朔虛】30-朔策=0.469407日
【歲閏、通閏】歲實-12朔策=10.875384日
【氣策】歲實/24=15.2184375日【氣盈】氣策-15=0.2184375日
【周天分】3652575分【周天度】365.2575度【周天象限】周天度/4=91.314375度
【歲差】周天-歲周=0.0150日
【轉終】27.5546日【轉中】13.7773日【轉差】朔實-轉終=1.975993日
【月平行度】13.36875度
【紀法】60【限法】820
【周限】轉終分/限法=275546/820=336.0317073170731707【中限】周限/2【初限】周限/4
【上弦】91.314375度【望】182.62875度【下弦】273.943125度
【氣應】55.06日:實測曆元歲前冬至爲己未子正夜半後6刻,距甲子夜半55.0600日
【閏應】20.205日:實測曆元歲前冬至距天正月平朔20.185日。至元三十一年(1294)改爲20.205日
【轉應】13.0205日:曆元歲前冬至距前月過近地點13.1904日。至元三十一年(1294)改爲13.0205日
【交應】26.0388日:曆元歲前冬至距前月過降交點26.018786日。至元三十一年(1294)改爲26.0388日。
【周應】315.1075度
4、氣朔閏
天正冬至:
中積=(年數-1281)*歲實365.2425
通積=中積+氣應55.06
冬至=通積%60,甲子算外。
閏積=中積+閏應20.205,閏餘=閏積%朔實29.530593,卽冬至平月齡、冬至距經朔的日數。
【天正經朔日分】冬至日分-閏餘。累加朔實,%60,得各月經朔。
冬至到夏至爲盈曆,夏至到冬至爲縮曆。【天正經朔入縮曆】182.62125-閏餘。累加朔實,%182.62125,得各月入盈縮曆。
若盈曆,若<=88.909225,卽為x;若>88.909225,半歲周182.62125-各月入盈縮曆=x
若縮曆,若<=93.712025,卽爲x;若>93.712025,半歲周182.62125-各月入盈縮曆=x
計算盈縮差(見上)盈縮差=定差x-平差x^2-立差x^3*10^-4,盈曆和縮曆參數不同
計算天正經朔入轉日分:(中積+轉應13.0205-閏餘)%轉終27.5546。累加轉差,%轉終27.5546,得各月經朔入轉日分。
經朔入轉日分<=轉中13.7773爲疾曆,>13.7773,減去轉中爲遲曆。
遲疾曆日分*12.20限,若<=84爲初限x,若>84,中限168-日分=末限x
遲疾差=定差x-平差x^2-立差x^3
加減差=盈縮差、遲疾差同名(盈遲、縮疾)相加,異名(盈疾、縮遲)相減 * 限法820 / 遲疾限下行度(遲疾限下行度=月平行度+-該限損益分)
經朔+加減差=定朔
求閏月
閏準=朔實-歲閏=18.655209日。月閏=歲閏10.875384/12=2*氣策-朔實=0.906282日
閏餘>=閏準,有閏月。天正冬至閏餘累加月閏,>=朔實的月就是閏月