赫赫金鑰｜曆學三：後漢四分曆、授時曆

後漢四分曆

1.1

章帝元和二年（85）改行四分曆，文帝後元三年庚辰（前 161）爲入元之年。

• 【1 秊】365 1/4 = 1461/4 日，1461：周天，4：日法，1461 ÷ 3 = 487：通法。365 1/4 - 360 = 21/4
• 【1 章】19 秊設 7 閏月，235 月 6939 3/4 日。19：章法，7：章閏，235：章月。235 × 1461 = 343335：大周。每章日月相會 235 周，月行 254 周。( 1461/4 × 19 )/ 254 = 27759/1016 ≈ 27.3218（近點月），1016：月周
• 【1 蔀】4 章 76 秊 940 月 27759 日。76：蔀法，940：蔀月，27759：蔀日
• 【1 紀】20 蔀 1520 秊 18800 月。1520：紀法，18800：紀月
• 【1 元】3 紀4560 秊。4560：元法

距上元年數 % 4560 = 入元年數。入元年數 % 1520 = 入紀年數。入紀年數 % 76 = 入蔀年數。《三統曆》算外 爲所求年太歲所在，《四分曆》算上 爲所求年太歲所在，因爲《三統曆》上元以來年數不包括所求年，四分曆包括。

《殷曆》二十蔀首表（再友情提示一下，「天」「地」「人」一欄是歲名，「蔀首」一欄是日名）：

後漢《四分曆》二十蔀首表：

1.2

1.2.1

1.2.1.1 【節氣】每年減去 6 甲子，餘 5 1/4 = 21/4 日。21：沒數。或 365 1/4 ÷ 24 = 15 7/32 ，7：沒法，32：中法。7 × 24 = 168：日餘，168 ÷ 32 = 5 1/4 = 21/4 日

1.2.1.2 【閏月位置】(19 - 閏餘) × 12/7 = 月數 ^餘數/₇ 。月數 + 1 卽閏月所在。若餘數 ≥ 4，則閏月可在前也可在後，由中氣決定，因爲閏月沒有中氣。例：餘數 = 5 ，6 月中氣爲大暑，若大暑在弟 6 月，則閏六月，若在弟 7 月，則閏五月

1.2.1.3 【弦望】每月 29 499/940 日，半月 14 719.5/940 日，四分之一月 7 359.75/940 日

1.2.1.4 【朔望時刻】每日分爲 100 刻，朔望小餘 × 100/940 = 刻數 ^刻餘/₉₄₀ 。所在節氣小於夜漏之半的在前日，大於的在後日

1.2.2

1.2.2.1 【冬至日名】每年後退 21/4 位，69 4/7 = 487/7 日後退一位（一沒），4 秊 1461 日後退 21 位。487：通數。7 沒 = 1 滅，3 滅 = 4 秊。已知一沒求後一沒，大小餘分別加 69、4 卽可

1.2.2.2 【冬至積日大餘】(入蔀年 - 1) × 21/4 = 大餘 ^小餘/₄ 。算外。求次年冬至，則大餘 +5 ，小餘 +1 。每節氣相隔 15 7/32 日，大小餘分別相加卽可（注意分母是 32 而非 4）

1.2.2.3 【冬至前第一箇沒日】(入蔀年 - 1) × 21/4 = 積沒 ^沒餘/₄ 。積沒 × 69 4/7 = 大餘 ^小餘/₇ （記得是從蔀首日開始算大餘）

1.2.2.4 【天正】(入蔀年 - 1) × 235/19 = 積月 ^閏餘/₁₉（同 古代曆法入門之一 4.2.1）。例：漢順帝永建五年（130）距入元之年 291 秊（含當年），291 ÷ 76 = 3 63/76 ，天紀弟 4 蔀辛酉弟 63 秊，算上爲庚午

1.2.2.5 【天正朔日】積月 × 27759/940 = [(入蔀年 - 1) ×343335 - 1461 閏餘] ÷ 940 = 積日 ^小餘/₉₄₀ ，積日 % 60 = 大餘。若小餘 ≥ 441 ，則爲大月

1.2.3

1.2.3.1 【合朔日所在天度】積日 + ^小餘/₉₄₀ + 21.25 - 365.25n （單位：°，1° = 940′）

1.2.3.2 【朔日夜半日所在天度】積日 + 21.25 - 365.25n

次日夜半所在天度：+ 1°

1.2.3.3【朔日夜半月所在天度】日每日行 1°，月每日行 13 7/19 ° 。254/19 積日 + 21.25 - 365.25n（單位：°，1° = 76′）

次日夜半月所在天度：+ 13°28′ 。次月（大月）：+ 35°61′，次月（小月）：+ 22°33′

1.2.3.4【朔日黎明日所在天度】1.2.3.2 + 4.7 夜漏數

1.2.3.5【朔日昬日所在天度】1.2.3.2 + 76 - 4.7 夜漏數

1.2.3.5【朔日黎明月所在天度】1.2.3.3 + 50.08 夜漏數

授時曆

根據張培瑜《中國古代曆法》第649—653頁。

1、日行盈縮

太陽在冬至速度最快，夏至速度最慢。冬至到夏至的半歲爲盈曆，夏至到冬至爲縮曆。

秋正__縮末限 88.909225日__冬至__盈初限 88.909225日__春正__盈末限 93.712025 日__夏至__**縮初限** 93.712025日 秋正

縮末限、盈初限等分爲6段，每段約14.82日，各段積差爲段末實行度與平行度之差。積差/積日=日平差、盈加分，卽平均每日多走的分數。各段日平差與後段日平差相減爲一差，一差與後段一差相減爲二差。

【泛立積差】0.69008362180639865

【平差】 (泛平積差-泛立積差)/段日 = 2.45538585649203063124214613275506563014130423474055

【立差】 泛立積差/段日^2=0.00314275533037503126

夏至前後

【泛立積差】0.6650565922569702

【平差】 (泛平積差-泛立積差)/段日 = 2.20748194450453482997512859208836859517228445335591

【立差】 泛立積差/段日^2=0.002726280004867184

冬夏至後x日的日平差、盈縮差=定差x-平差x^2-立差x^3*10^-4

2、月行遲疾

一個近月點分為4個象，每象分為7段，每段分為12限，一轉周27.5546日有336限。每段0.9840928571428571日，每限0.0820077380952381日。

近地點開始，每象6.88865日

入轉日__疾初限__84限__疾末限__轉中168限13.7773日__遲初限__252限__遲末限__入轉日27.5546日

泛立積差=0.0468

平差=0.0281

立差=0.000325

第x限遲疾積=定差x+平差x^2+立差x^3

遲疾差=定差x-平差x^2-立差x^3

3、參數

1281年辛巳爲曆元。

1日100刻，1刻100分，1分100秒，1秒100微。1秒=8.64s

【歲實、歲周】365.2425日=3652425分【半歲周】182.62125日【歲實消長】每百年歲實減少 0.0001日：365.2425 - 0.000001(公元年數-1281)【通餘、通盈分】歲實-360=5.2425日

【朔實、朔策】29.530593日【望策】朔策/2=14.7652965日【弦策】朔策/4=7.38264825日【朔虛】30-朔策=0.469407日

【歲閏、通閏】歲實-12朔策=10.875384日

【氣策】歲實/24=15.2184375日【氣盈】氣策-15=0.2184375日

【周天分】3652575分【周天度】365.2575度【周天象限】周天度/4=91.314375度

【歲差】周天-歲周=0.0150日

【轉終】27.5546日【轉中】13.7773日【轉差】朔實-轉終=1.975993日

【月平行度】13.36875度

【紀法】60【限法】820

【周限】轉終分/限法=275546/820=336.0317073170731707【中限】周限/2【初限】周限/4

【上弦】91.314375度【望】182.62875度【下弦】273.943125度

【氣應】55.06日：實測曆元歲前冬至爲己未子正夜半後6刻，距甲子夜半55.0600日

【閏應】20.205日：實測曆元歲前冬至距天正月平朔20.185日。至元三十一年（1294）改爲20.205日

【轉應】13.0205日：曆元歲前冬至距前月過近地點13.1904日。至元三十一年（1294）改爲13.0205日

【交應】26.0388日：曆元歲前冬至距前月過降交點26.018786日。至元三十一年（1294）改爲26.0388日。

【周應】315.1075度

4、氣朔閏

天正冬至：

中積=(年數-1281)*歲實365.2425

通積=中積+氣應55.06

冬至=通積%60，甲子算外。

閏積=中積+閏應20.205，閏餘=閏積%朔實29.530593，卽冬至平月齡、冬至距經朔的日數。

【天正經朔日分】冬至日分-閏餘。累加朔實，%60，得各月經朔。

冬至到夏至爲盈曆，夏至到冬至爲縮曆。【天正經朔入縮曆】182.62125-閏餘。累加朔實，%182.62125，得各月入盈縮曆。

若盈曆，若<=88.909225，卽為x；若>88.909225，半歲周182.62125-各月入盈縮曆=x

若縮曆，若<=93.712025，卽爲x；若>93.712025，半歲周182.62125-各月入盈縮曆=x

計算盈縮差（見上）盈縮差=定差x-平差x^2-立差x^3*10^-4，盈曆和縮曆參數不同

計算天正經朔入轉日分：(中積+轉應13.0205-閏餘)%轉終27.5546。累加轉差，%轉終27.5546，得各月經朔入轉日分。

經朔入轉日分<=轉中13.7773爲疾曆，>13.7773，減去轉中爲遲曆。

遲疾曆日分*12.20限，若<=84爲初限x，若>84，中限168-日分=末限x

遲疾差=定差x-平差x^2-立差x^3

加減差=盈縮差、遲疾差同名（盈遲、縮疾）相加，異名（盈疾、縮遲）相減 * 限法820 / 遲疾限下行度（遲疾限下行度=月平行度+-該限損益分）

經朔+加減差=定朔

求閏月

閏準=朔實-歲閏=18.655209日。月閏=歲閏10.875384/12=2*氣策-朔實=0.906282日

閏餘>=閏準，有閏月。天正冬至閏餘累加月閏，>=朔實的月就是閏月