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赫赫金鑰|曆學三:後漢四分曆、授時曆

介紹了後漢《四分曆》、元《授時曆》。似乎跨度有點大。

後漢四分曆

1.1

章帝元和二年(85)改行四分曆,文帝後元三年庚辰(前 161)爲入元之年。

  • 【1 秊】365 1/4 = 1461/4 日,1461:周天,4:日法,1461 ÷ 3 = 487:通法。365 1/4 - 360 = 21/4
  • 【1 章】19 秊設 7 閏月,235 月 6939 3/4 日。19:章法,7:章閏,235:章月。235 × 1461 = 343335:大周。每章日月相會 235 周,月行 254 周。( 1461/4 × 19 )/ 254 = 27759/1016 ≈ 27.3218(近點月),1016:月周
  • 【1 蔀】4 章 76 秊 940 月 27759 日。76:蔀法,940:蔀月,27759:蔀日
  • 【1 紀】20 蔀 1520 秊 18800 月。1520:紀法,18800:紀月
  • 【1 元】3 紀4560 秊。4560:元法

距上元年數 % 4560 = 入元年數。入元年數 % 1520 = 入紀年數。入紀年數 % 76 = 入蔀年數。《三統曆》算外 爲所求年太歲所在,《四分曆》算上 爲所求年太歲所在,因爲《三統曆》上元以來年數不包括所求年,四分曆包括。

《殷曆》二十蔀首表(再友情提示一下,「天」「地」「人」一欄是歲名,「蔀首」一欄是日名):

1234567891011121314151617181920
蔀首甲子癸卯壬午辛酉庚子己卯戊午丁酉丙子乙卯甲午癸酉壬子辛卯庚午己酉戊子丁卯丙午乙酉
天元甲寅庚午丙戌壬寅戊午甲戌庚寅丙午壬戌戊寅甲午庚戌丙寅壬午戊戌甲寅庚午丙戌壬寅戊午
地元甲戌庚寅丙午壬戌戊寅甲午庚戌丙寅壬午戊戌甲寅庚午丙戌壬寅戊午甲戌庚寅丙午壬戌戊寅
人元甲午庚戌丙寅壬午戊戌甲寅庚午丙戌壬寅戊午甲戌庚寅丙午壬戌戊寅甲午庚戌丙寅壬午戊戌

後漢《四分曆》二十蔀首表:

1234567891011121314151617181920
蔀首甲子癸卯壬午辛酉庚子己卯戊午丁酉丙子乙卯甲午癸酉壬子辛卯庚午己酉戊子丁卯丙午乙酉
天元庚辰丙申壬子戊辰甲申庚子丙辰壬申戊子甲辰庚申丙子壬辰戊申甲子庚辰丙申壬子戊辰甲申
地紀庚子丙辰壬申戊子甲辰庚申丙子壬辰戊申甲子庚辰丙申壬子戊辰甲申庚子丙辰壬申戊子甲辰
人紀庚申丙子壬辰戊申甲子庚辰丙申壬子戊辰甲申庚子丙辰壬申戊子甲辰庚申丙子壬辰戊申甲子

1.2

1.2.1

1.2.1.1 【節氣】每年減去 6 甲子,餘 5 1/4 = 21/4 日。21:沒數。或 365 1/4 ÷ 24 = 15 7/32 ,7:沒法,32:中法。7 × 24 = 168:日餘,168 ÷ 32 = 5 1/4 = 21/4 日

1.2.1.2 【閏月位置】(19 - 閏餘) × 12/7 = 月數 餘數/7 。月數 + 1 卽閏月所在。若餘數 ≥ 4,則閏月可在前也可在後,由中氣決定,因爲閏月沒有中氣。例:餘數 = 5 ,6 月中氣爲大暑,若大暑在弟 6 月,則閏六月,若在弟 7 月,則閏五月

1.2.1.3 【弦望】每月 29 499/940 日,半月 14 719.5/940 日,四分之一月 7 359.75/940 日

1.2.1.4 【朔望時刻】每日分爲 100 刻,朔望小餘 × 100/940 = 刻數 刻餘/940 。所在節氣小於夜漏之半的在前日,大於的在後日

1.2.2

1.2.2.1 【冬至日名】每年後退 21/4 位,69 4/7 = 487/7 日後退一位(一沒),4 秊 1461 日後退 21 位。487:通數。7 沒 = 1 滅,3 滅 = 4 秊。已知一沒求後一沒,大小餘分別加 69、4 卽可

1.2.2.2 【冬至積日大餘】(入蔀年 - 1) × 21/4 = 大餘 小餘/4 。算外。求次年冬至,則大餘 +5 ,小餘 +1 。每節氣相隔 15 7/32 日,大小餘分別相加卽可(注意分母是 32 而非 4)

1.2.2.3 【冬至第一箇沒日】(入蔀年 - 1) × 21/4 = 積沒 沒餘/4 。積沒 × 69 4/7 = 大餘 小餘/7 (記得是從蔀首日開始算大餘)

1.2.2.4 【天正】(入蔀年 - 1) × 235/19 = 積月 閏餘/19(同 古代曆法入門之一 4.2.1)。例:漢順帝永建五年(130)距入元之年 291 秊(含當年),291 ÷ 76 = 3 63/76 ,天紀弟 4 蔀辛酉弟 63 秊,算上爲庚午

1.2.2.5 【天正朔日】積月 × 27759/940 = [(入蔀年 - 1) ×343335 - 1461 閏餘] ÷ 940 = 積日 小餘/940 ,積日 % 60 = 大餘。若小餘 ≥ 441 ,則爲大月

1.2.3

1.2.3.1 【合朔日所在天度】積日 + 小餘/940 + 21.25 - 365.25n (單位:°,1° = 940′)

1.2.3.2 【朔日夜半日所在天度】積日 + 21.25 - 365.25n

次日夜半所在天度:+ 1°

1.2.3.3【朔日夜半月所在天度】日每日行 1°,月每日行 13 7/19 ° 。254/19 積日 + 21.25 - 365.25n(單位:°,1° = 76′)

次日夜半月所在天度:+ 13°28′ 。次月(大月):+ 35°61′,次月(小月):+ 22°33′

1.2.3.4【朔日黎明日所在天度】1.2.3.2 + 4.7 夜漏數

1.2.3.5【朔日昬日所在天度】1.2.3.2 + 76 - 4.7 夜漏數

1.2.3.5【朔日黎明月所在天度】1.2.3.3 + 50.08 夜漏數

授時曆

根據張培瑜《中國古代曆法》第649—653頁。

1、日行盈縮

太陽在冬至速度最快,夏至速度最慢。冬至到夏至的半歲爲盈曆,夏至到冬至爲縮曆。

秋正__縮末限 88.909225日__冬至__盈初限 88.909225日__春正__盈末限 93.712025 日__夏至__**縮初限** 93.712025日 秋正

縮末限、盈初限等分爲6段,每段約14.82日,各段積差爲段末實行度與平行度之差。積差/積日=日平差、盈加分,卽平均每日多走的分數。各段日平差與後段日平差相減爲一差,一差與後段一差相減爲二差。

積日積差日平差一差二差
冬至0定差513.3822097763196113泛平積差37.074492551251009泛立積差=1.3801672436127973/2
第1段14.81820416666666677058.0250泛平積476.307717225068602338.45465979486380631.3801672436127973
第2段29.636408333333333312976.3920437.85305743020479639.8348270384766036
第3段44.454612517693.7462398.0182303917281924
第4段21148.7328
第5段23279.9970
第6段24026.1840

【泛立積差】0.69008362180639865

【平差】 (泛平積差-泛立積差)/段日 = 2.45538585649203063124214613275506563014130423474055

【立差】 泛立積差/段日^2=0.00314275533037503126

夏至前後

積日積差日平差一差二差
夏至00定差487.1014493604209279泛平積差35.1429904539999003泛立積差=1.3301131845139404/2
第1段15.61867083333333337058.9904泛平積451.958458906421027636.47310363851384071.3301131845139404
第2段31.237341666666666712978.6580415.485355267907186937.8032168230277811
第3段46.856012517696.6790377.6821384448794058
第4段
第5段
第6段

【泛立積差】0.6650565922569702

【平差】 (泛平積差-泛立積差)/段日 = 2.20748194450453482997512859208836859517228445335591

【立差】 泛立積差/段日^2=0.002726280004867184

冬夏至後x日的日平差、盈縮差=定差x-平差x^2-立差x^3*10^-4

2、月行遲疾

一個近月點分為4個象,每象分為7段,每段分為12限,一轉周27.5546日有336限。每段0.9840928571428571日,每限0.0820077380952381日。

近地點開始,每象6.88865日

入轉日__疾初限__84限__疾末限__轉中168限13.7773日__遲初限__252限__遲末限__入轉日27.5546日

積限積差分限平差一差二差
初日0定差11.1100泛平積差0.38400.0936
第1段12128.7120泛平積10.72600.47760.0936
第2段24245.961610.24840.5712
第3段36348.37929.67720
第4段48432.5952
第5段60495.2400
第6段72532.9440
第7段84542.3376

泛立積差=0.0468

平差=0.0281

立差=0.000325

第x限遲疾積=定差x+平差x^2+立差x^3

遲疾差=定差x-平差x^2-立差x^3

3、參數

1281年辛巳爲曆元。

1日100刻,1刻100分,1分100秒,1秒100微。1秒=8.64s

【歲實、歲周】365.2425日=3652425分【半歲周】182.62125日【歲實消長】每百年歲實減少 0.0001日:365.2425 - 0.000001(公元年數-1281)【通餘、通盈分】歲實-360=5.2425日

【朔實、朔策】29.530593日【望策】朔策/2=14.7652965日【弦策】朔策/4=7.38264825日【朔虛】30-朔策=0.469407日

【歲閏、通閏】歲實-12朔策=10.875384日

【氣策】歲實/24=15.2184375日【氣盈】氣策-15=0.2184375日

【周天分】3652575分【周天度】365.2575度【周天象限】周天度/4=91.314375度

【歲差】周天-歲周=0.0150日

【轉終】27.5546日【轉中】13.7773日【轉差】朔實-轉終=1.975993日

【月平行度】13.36875度

【紀法】60【限法】820

【周限】轉終分/限法=275546/820=336.0317073170731707【中限】周限/2【初限】周限/4

【上弦】91.314375度【望】182.62875度【下弦】273.943125度

【氣應】55.06日:實測曆元歲前冬至爲己未子正夜半後6刻,距甲子夜半55.0600日

【閏應】20.205日:實測曆元歲前冬至距天正月平朔20.185日。至元三十一年(1294)改爲20.205日

【轉應】13.0205日:曆元歲前冬至距前月過近地點13.1904日。至元三十一年(1294)改爲13.0205日

【交應】26.0388日:曆元歲前冬至距前月過降交點26.018786日。至元三十一年(1294)改爲26.0388日。

【周應】315.1075度

4、氣朔閏

天正冬至:

中積=(年數-1281)*歲實365.2425

通積=中積+氣應55.06

冬至=通積%60,甲子算外。

閏積=中積+閏應20.205,閏餘=閏積%朔實29.530593,卽冬至平月齡、冬至距經朔的日數。

【天正經朔日分】冬至日分-閏餘。累加朔實,%60,得各月經朔。

冬至到夏至爲盈曆,夏至到冬至爲縮曆。【天正經朔入縮曆】182.62125-閏餘。累加朔實,%182.62125,得各月入盈縮曆。

若盈曆,若<=88.909225,卽為x;若>88.909225,半歲周182.62125-各月入盈縮曆=x

若縮曆,若<=93.712025,卽爲x;若>93.712025,半歲周182.62125-各月入盈縮曆=x

計算盈縮差(見上)盈縮差=定差x-平差x^2-立差x^3*10^-4,盈曆和縮曆參數不同

計算天正經朔入轉日分:(中積+轉應13.0205-閏餘)%轉終27.5546。累加轉差,%轉終27.5546,得各月經朔入轉日分。

經朔入轉日分<=轉中13.7773爲疾曆,>13.7773,減去轉中爲遲曆。

遲疾曆日分*12.20限,若<=84爲初限x,若>84,中限168-日分=末限x

遲疾差=定差x-平差x^2-立差x^3

加減差=盈縮差、遲疾差同名(盈遲、縮疾)相加,異名(盈疾、縮遲)相減 * 限法820 / 遲疾限下行度(遲疾限下行度=月平行度+-該限損益分)

經朔+加減差=定朔

求閏月

閏準=朔實-歲閏=18.655209日。月閏=歲閏10.875384/12=2*氣策-朔實=0.906282日

閏餘>=閏準,有閏月。天正冬至閏餘累加月閏,>=朔實的月就是閏月