赫赫金鑰｜曆學二：古四分曆、三統曆

2. 古四分曆

2.1

《史記》《曆書》有《曆術甲子篇》，一些人認爲是司馬遷的太初改曆方案，而張汝舟、張聞玉認爲是司馬遷保留下來的古曆。「太初」並非漢武帝太初秊號，而是指曆元之太初，其中的秊號秊數都是後人竄入。經他推筭，「天正甲寅元」殷曆創製於公元前 427 秊甲寅秊己酉蔀首秊，公元前 1567 秊爲甲寅元甲子蔀首秊。

【一月】 29 499/940 = 27759/940 日，朔到望 14 1439/1880 日
【1 秊】365 1/4 日，
【1 章】19 秊 235 月，卽在 19 秊中加入 7 箇閏月
【1 蔀】4 章，76 秊 940 月 27759 日。27759 % 60 = 39。蔀餘 39
【1 紀】20 蔀，1520 秊。20 蔀之後蔀餘歸零。1520 % 60 = 20
【1 元】3 紀，4560 秊。三次之後秊干支亦囘復。

規定曆法起點是夜半朔旦冬至，是秊月日的共同起點。此時太陽在黃道最南，日、月、地心、觀測點在同一直線，日月地心在一側，觀測點在另一側。

誤差：一月 29 499/940 ≈ 29.53085106 日，今測平均 29.530588 日，每月超過實測 0.00026306 日，每秊超過 0.00026306 × 235/19 × 940 ≈ 3.0584 分。所以推筭公元前 427 秊之歬的應該每秊加小餘 3.0584，之後的減小餘 3.0584。

2.2 甲寅元曆二十蔀日干支及三元蔀首秊干支表

（數字表示蔀餘。只有顓頊曆蔀首不同，在此不列出來了）

古六曆中，五曆同用甲子蔀起首，只有顓頊用己巳蔀。

丁巳元周曆

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
蔀首	甲子0	癸卯39	壬午18	辛酉57	庚子36	己卯15	戊午54	丁酉33	丙子12	乙卯51	甲午30	癸酉9	壬子48	辛卯27	庚午6	己酉45	戊子24	丁卯3	丙午42	乙酉21
天元	丁巳	癸酉	己丑	乙巳	辛酉	丁丑	癸巳	己酉	乙丑	辛巳	丁酉	癸丑	己巳	乙酉	辛丑	丁巳	癸酉	己丑	乙巳	辛酉
地元	丁丑	癸巳	己酉	乙丑	辛巳	丁酉	癸丑	己巳	乙酉	辛丑	丁巳	癸酉	己丑	乙巳	辛酉	丁丑	癸巳	己酉	乙丑	辛巳
人元	丁酉	癸丑	己巳	乙酉	辛丑	丁巳	癸酉	己丑	乙巳	辛酉	丁丑	癸巳	己酉	乙丑	辛巳	丁酉	癸丑	己巳	乙酉	辛丑

庚子元魯曆

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
蔀首	甲子0	癸卯39	壬午18	辛酉57	庚子36	己卯15	戊午54	丁酉33	丙子12	乙卯51	甲午30	癸酉9	壬子48	辛卯27	庚午6	己酉45	戊子24	丁卯3	丙午42	乙酉21
天元	庚子	丙辰	壬申	戊子	甲辰	庚申	丙子	壬辰	戊申	甲子	庚辰	丙申	壬子	戊辰	甲申	庚子	丙辰	壬申	戊子	甲辰
地元	庚申	丙子	壬辰	戊申	甲子	庚辰	丙申	壬子	戊辰	甲申	庚子	丙辰	壬申	戊子	甲辰	庚申	丙子	壬辰	戊申	甲子
人元	庚辰	丙申	壬子	戊辰	甲申	庚子	丙辰	壬申	戊子	甲辰	庚申	丙子	壬辰	戊申	甲子	庚辰	丙申	壬子	戊辰	甲申

甲寅元殷曆

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
蔀首	甲子0	癸卯39	壬午18	辛酉57	庚子36	己卯15	戊午54	丁酉33	丙子12	乙卯51	甲午30	癸酉9	壬子48	辛卯27	庚午6	己酉45	戊子24	丁卯3	丙午42	乙酉21
天元	甲寅	庚午	丙戌	壬寅	戊午	甲戌	庚寅	丙午	壬戌	戊寅	甲午	庚戌	丙寅	壬午	戊戌	甲寅	庚午	丙戌	壬寅	戊午
地元	甲戌	庚寅	丙午	壬戌	戊寅	甲午	庚戌	丙寅	壬午	戊戌	甲寅	庚午	丙戌	壬寅	戊午	甲戌	庚寅	丙午	壬戌	戊寅
人元	甲午	庚戌	丙寅	壬午	戊戌	甲寅	庚午	丙戌	壬寅	戊午	甲戌	庚寅	丙午	壬戌	戊寅	甲午	庚戌	丙寅	壬午	戊戌

【朔旦甲子日法】平秊 12 月 × 29 499/940 = 354 348/940 日。減去 5 甲子㝵 54 348/940 ，大餘 54，小餘 348。第一秊正月初一甲子（1）日，所以第二秊十一月朔旦是戊午（55）日。

【冬至甲子日法】一秊 365 1/4 日，以甲子除之，餘 5 1/4 ，大餘 5，小餘 8（ 8/32 ），所以第二秊的冬至是己巳日卯時。

閏月位置由無中置閏法確定。365 1/4 ÷ 24 = 15 7/32 ，每箇節气之閒就相隔 15 7/32 日。從冬至開始，依次加大餘 15、小餘 7，卽可得出各節气。

365 1/4 ÷ 12 = 30 14/32

2.3 《曆術甲子篇》

（史記上用的太初以後的秊號，不方便看是第幾秊，這裏轉成㪅直觀的表格。第一秊爲甲寅秊。）

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76
方位	正北																			正西																			正南																			正東
月數	12	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13	12	12	13	12	12	13	12	13
朔大餘	0	54	48	12	7	1	25	19	14	37	32	56	50	44	8	3	57	21	15	39	34	28	52	46	41	5	59	53	17	12	35	30	24	48	42	37	1	55	19	13	8	32	26	20	44	39	33	57	51	15	10	4	28	22	17	40	35	59	53	47	11	6	0	24	18	13	37	31	55	49	44	8	2	56	20	15
朔小餘	0	348	696	603	11	359	266	614	22	869	277	184	532	880	787	195	543	450	798	705	113	461	368	716	124	31	379	727	634	42	889	297	645	552	900	308	215	563	470	818	226	133	481	829	736	144	492	399	747	654	62	410	317	665	73	920	328	235	583	931	838	246	594	501	849	257	164	512	419	767	175	82	430	778	685	93
冬至大餘	0	5	10	15	21	26	31	36	42	47	52	57	3	8	13	18	24	29	34	39	45	50	55	0	6	11	16	21	27	32	37	12	48	53	58	3	9	14	19	24	30	35	40	45	51	56	1	6	12	17	22	27	33	38	43	48	54	59	4	9	15	20	25	30	36	41	46	51	57	2	7	12	18	23	28	33
冬至小餘	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24	0	8	16	24

天左旋，一晝夜行一周天，一秊 365 1/4 日，所以第一秊冬至子時正北，弟二秊卯時正東。

2.4 練習

推筭方法：先入蔀，秊用《曆數甲子篇》秊序，該秊大餘加該蔀蔀餘，㝵該秊子月朔日干支。再求各月朔日干支。例：《詩》《十月之交》「十月之交，朔月辛卯，日有食之。」前人考訂爲周幽王六秊公元前 776 秊。1567 - 776 = 791，791 ÷ 76 = 10 … 31，入天元甲午蔀 32 秊。査《曆數甲子篇》，太初三十二秊大餘 30，小餘 297，甲午蔀蔀餘 30，30 + 30 歸零爲甲子。前 776 秊子月甲子日 297 分朔，筭上誤差，(776 - 427) × 3.0584 ≈ 1067 分，進一加小餘㝵 424 分，卽乙丑日 424 分朔。

張汝舟考訂武王克商爲前 1106，距前 427 秊 679 秊，距前 1567 秊 461 秊。461 ÷ 76 = 6 … 5，入天元戊午蔀 6 秊。六秊大餘 1，小餘 359。戊午蔀蔀餘 54，54 + 1 = 55。誤差 679 × 3.0584 ≈ 2077 分，加大餘 2、小餘 197，得大餘 57、小餘 556。算外子月辛酉朔。子月大月，故丑月大餘 28 辛卯朔，小餘 115。寅月小月，大餘 57 庚申朔，小餘 614。卯月大月，大餘 27 庚寅朔，小餘 173。辰月小月，大餘 56 己未朔，小餘 672。巳月大月，大餘 26 己丑朔，小餘 231。劉歆引《武成》：「惟一月壬辰，旁死霸（二日）」「粤若來三（當爲二）月，旣死霸（一日），粵五日甲子」「惟四月旣旁生霸（十七日），粵六日庚戌」則是殷正一月辛卯朔，二月庚申朔，四月己丑朔。相合。不過問題是，二月之後有閏二月，「惟四月」正好跳過去了，周初不可能有秊中置閏。

1919 到前 427 秊 2345 秊。到前 1567 秊 3485 秊。3485 ÷ 1520 = 2 … 445，445 ÷ 76 = 5 … 65，入地元己卯蔀 66 秊。66 秊大餘 13，小餘 257，己卯蔀蔀餘 15，15 + 13 = 28。誤差 2362 × 3.0584 ≈ 7224 分，減大餘 7，小餘 644，得大餘 20，小餘 553。算外甲申。査萬秊曆，相合。

2019 秊到前 427 秊 2445 秊，到前 1567 秊 3585 秊。3585 ÷ 1520 = 2 … 545，545 ÷ 76 = 7 … 13，入地元丁酉蔀 14 秊。14 秊大餘 44，小餘 880，丁酉蔀蔀餘 33，33 + 44 = 77，77 - 60 = 17。誤差 2462 × 3.0584 ≈ 7530 分，減大餘 8，小餘 10，得大餘 9，小餘 870。算外癸酉。査萬秊曆，相合。

3. 顓頊曆

顓頊曆二十蔀首表（朱桂昌《顓頊日曆表》）

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
己巳	戊申	丁亥	丙寅	乙巳	甲申	癸亥	壬寅	辛巳	庚申	己亥	戊寅	丁巳	丙申	乙亥	甲寅	癸巳	壬申	辛亥	庚寅

4. 三統曆

太初曆是八十一分曆，與司馬遷的四分曆不同。三統曆就是太初曆。

4.1

見於《漢書》《律曆志》。武帝用鄧平、落下閎的八十一分律曆，廢其餘十七家。改元封七秊爲太初元秊，十一月冬至甲子日爲曆首，正月癸亥日爲歲首。太初元秊，太初曆定爲甲寅，三統曆爲丙子，四分曆爲丁丑。甲寅是硬性規定的，丙子由超辰法筭㝵，丁丑是以往秊數順數而㝵，以丁丑爲是。

【1 月】29 43/81 = 2392/81 日。2392：月法，81：日法。每月分四段，598：通法。自朔至望 2392/81 ÷ 2 = 14 62/81 日
【1 秊】29 43/81 × 235 ÷ 19 = 365 385/1539 = 562120/1539 日。同四分曆 19 秊置 7 閏。每月有一箇中气，閏月無中气，因而一秊有 12 箇中气，12：歲中
【1 章】29 43/81 × 235 = 6939 61/81 = 562120/81 日。19：閏法、章歲，235：章月。一章之後冬至囘到十一月朔旦。1 章 235 箇月之中，日繞地 19 周，月行 235 + 19 = 254 周。一章有 228 箇中气，228：章中
【1 終】9 章 562120/9 = 62457 7/9 日
【1 會】3 終 27 章 513 秊
【1 統】3 會 9 終 81 章 = 1539 秊 = 562120 日。一統之後冬至囘到十一月朔旦夜半。每統有 18468 箇中气，18468：統中
【1 元】3 統 = 243 章 = 4617 秊。4617：元法。562120 % 60=40，所以元首甲子，天統仲統甲子一統，地統季統甲辰二統，人統孟統甲申三統，一元三統之後冬至復歸十一月甲子朔旦夜半。4617 = 81 × 57，57：周至。

【誤差】三統曆一月 29 43/81 ≈ 29.5308641975 日，每月超過實測 0.0002761975309 日，每秊超過 0.0002761975309 × 235/19 × 81 = 0.2767063158 分。三統曆以太初元秊、公元前 104 秊爲曆首，同樣，前 104 秊以歬，每秊加小餘 0.2767，以後的減小餘 0.2767。我們推算周初史事，假設是前 1050 秊，則四分曆 (1050 - 427) × 3.0584 = 1905 分，則應該往後推 2 日 25 分。三統曆 (1050 - 104) × 0.2767 ≈ 262 分，則應該往後推 3 日 19 分。相差一日，還好。四分曆有曆首早的優埶。

古代日行一日爲一度，一周 365 385/1539 = 562120/1539 度，562120：周天。

【近距曆元】不考慮五星日月會合周期：太初元秊前十一月甲子朔旦夜半冬至
【上元】加入七曜會合周期的曆元。太極上元：2626560 × 3 × 3 = 23639040 歲。

下表照抄《漢書》《律曆志》甲子元三統各章章首日干支 （數字表示第幾章，計筭時先入統再入章）

	1	10	19	28	37	46	55	64	73
中	甲子⁽¹⁴⁾	辛酉	己未	丁巳	乙卯	壬子	庚戌	戊申	丙午
季	甲辰	辛丑	己亥	丁酉	乙未	壬辰	庚寅	戊子	丙戌
孟	甲申	辛巳	己卯	丁丑⁽²⁾	乙亥⁽⁴⁾	壬申	庚午	戊辰	丙寅⁽¹²⁾
	2	11	20	29	38	47	56	65	74
中	癸卯	辛丑	己亥	丁酉	甲午	壬辰	庚寅	戊子	乙申
季	癸未	辛巳	己卯	丁丑	甲戌	壬申	庚午	戊辰	乙丑
孟	癸亥	辛酉	己未	丁巳⁽³⁾	甲寅	壬子	庚戌	戊申⁽¹⁰⁾	乙巳
	3	12	21	30	39	48	57	66	75
中	癸未	辛巳	己卯	丙子	甲戌	壬申	庚午^①	丁卯	乙丑
季	癸亥	辛酉	己未	丙辰	甲寅	壬子	庚戌	丁未	乙巳
孟	癸卯	辛丑	己亥	丙申	甲午	壬辰	庚寅⁽⁹⁾	丁亥	乙酉
	4	13	22	31	40	49	58	67	76
中	癸亥⁽¹⁵⁾	辛酉	戊午	丙辰	甲寅	壬子	己酉	丁未	乙巳
季	癸卯	辛丑	戊戌	丙申	甲午	壬辰	己丑	丁亥	乙酉
孟	癸未	辛巳	戊寅	丙子	甲戌	壬申⁽⁷⁾	己巳	丁卯	乙丑
	5	14	23	32	41	50	59	68	77
中	癸卯⁽¹⁶⁾	庚子	戊戌	丙申	甲午	辛卯	己丑	丁亥	乙酉
季	癸未	庚辰	戊寅	丙子	甲戌	辛未	己巳	丁卯	乙丑⁽¹⁾
孟	癸亥	庚申	戊午	丙辰	甲寅(5)	辛亥	己酉	丁未	乙巳⁽¹³⁾
	6	15	24	33	42	51	60	69	78
中	壬午	庚辰	戊寅	丙子	癸酉	辛未	己巳	丁卯	甲子
季	壬戌	庚申	戊午	丙辰	癸丑	辛亥	己酉	丁未	甲辰
孟	壬寅	庚子	戊戌	丙申	癸巳	辛卯	己丑	丁亥⁽¹¹⁾	甲申
	7	16	25	34	43	52	61	70	79
中	壬戌⁽¹⁷⁾	庚申	戊午	乙卯	癸丑	辛亥	己酉	丙午	甲辰
季	壬寅	庚子	戊戌	乙未	癸巳	辛卯	己丑	丙戌	甲申
孟	壬午	庚辰	戊寅	乙亥	癸酉	辛未	己巳	丙寅	甲子
	8	17	26	35	44	53	62	71	80
中	壬寅	庚子	丁酉	乙未	癸巳	辛卯	戊子	丙戌	甲申
季	壬午	庚辰	丁丑	乙亥	癸酉	辛未	戊辰	丙寅	甲子
孟	壬戌	庚申	丁巳	乙卯	癸丑	辛亥⁽⁸⁾	戊申	丙午	甲辰
	9	18	27	36	45	54	63	72	81
中	壬午	己卯	丁丑	乙亥	癸酉	庚午	戊辰	丙寅	甲子
季	壬戌	己未	丁巳	乙卯	癸丑	庚戌	戊申	丙午	甲辰
孟	壬寅	己亥	丁酉	乙未	癸巳⁽⁶⁾	庚寅	戊子	丙戌	甲申

(1)商太甲元秊 (2)文王四十二秊 (3)周公五秊 (4)微二十六秊 (5)獻十五秊 (6)懿九秊 (7)惠三十八秊 (8)僖五秊 (9)成十二年 (10)元四秊 (11)康四秊 (12)愍二十二秊 (13)楚元三秊 (14)漢太初元秊 (15)初元二秊 (16)河平元秊 (17)始建國三秊

①《漢書》誤作庚子

三統曆與殷曆章蔀對照表

每元秊數和甲子的最小公倍數是 4617 × 20，卽每二十秊，秊名重複一次。下爲二十元天地人三統首秊秊干支：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
天統	丙子	癸酉	庚戊	丁卯	甲子	辛酉	戊午	乙卯	壬子	己酉	丙午	癸卯	庚子	丁酉	甲午	辛卯	戊子	乙酉	壬午	己卯
地統	乙卯	壬子	己酉	丙午	癸卯	庚子	丁酉	甲午	辛卯	戊子	乙酉	壬午	己卯	丙子	癸酉	庚戊	丁卯	甲子	辛酉	戊午
人統	甲午	辛卯	戊子	乙酉	壬申	己卯	丙子	癸酉	庚戊	丁卯	甲子	辛酉	戊午	乙卯	壬子	己酉	丙午	癸卯	庚子	丁酉

4.2 閏餘節氣等

4.2.1 推天正：求天正月以前的積月，以判定該秊是否有閏月。入統歲數 × 235/19 = 積月 ^閏餘/₁₉ 。如果閏餘 ≥ 12，加上本秊所餘 7，則有閏月。若求地正月積月，要加積月一；求人正月，加積月二。

4.2.2 推正月朔：積月 × 2392/81 = 積日 ^小餘/₈₁。前月小餘加本月小餘，如果滿 81，則成一日，本月爲大月，卽本月小餘 ≥ 38 爲大月，≤ 37 爲小月。大月爲 30 49/81 日。

4.2.3 求闰月位置。12 閏餘 + 7N ≥ 228 時，N 爲閏月（自冬至所在月起算）。還要再確認一遍。

4.2.4 求冬至法同《曆術甲子篇》，一秊日數減六甲子㝵 5 385/1539 = 8080/1539 ，8080：策餘。入統年數 × 8080/1539 = 積日 ^小餘/₁₅₃₉ ，從統首冬至日名算起，大餘卽是冬至日名。

4.2.5 每秊 12 箇中气，相隔 365 385/1539 ÷ 12 = 140530/4617 = 30 2020/4617。140530：中法。每气日數：365 385/1539 ÷ 24 = 15 1010/4617 。

4.2.6 二十四節氣相隔 15 1010/4617 日，爲了能與冬至大小餘相加，將其分子分母擴大三倍。二十四大餘 = 冬至大餘 + 15n，小餘 = 3 冬至小餘 + 1010 n。小餘滿 4617 歸入大餘。

4.3 超辰等

歲星歲數 1728，見數 1583，1728 - 1583 = 145，每 1728 秊行天 145 周，周天分 1728 分，每秊行 145 分，周天分 12 次，每次 1728 ÷ 12 = 144 分，卽每 144 秊行天 145 次。

積歲 % 1728 = 歲數，歲數 × 145/144 = 積次 ^次餘/₁₄₄。積次 % 12 = 定次，數起星紀，筭外卽㝵。次餘 × 30/144 = 積度。如伐桀之歲距上元 141480 歲，141480 % 1728 = 1512，1512 × 145/144 = 1522 72/144 ，1522 % 12 = 10，72 × 30/144 = 15，星紀往後數 10 爲大火，氐 5 度加 10 爲房 5 度。

求天正合朔時日月所在星度。周天 562120 分，古代日行一日爲一度，一度 1539 分。(積日 × 1539 + 小餘 × 19) / 562120 = 餘數，餘數/1539 = 度數。從牽牛起筭，爲合朔前一日所在星度。減去一度爲合朔日所在星度。

4.4 世經

（畢業論文的寫得清楚一些。）

（《漢書》卷二十一下《律曆志下》，弟 1015—1017 葉）

《春秋曆》，周文王四十二秊十二月丁丑朔旦冬至，孟統之二會首也。後八歲而武王伐紂。……《三統》，上元至伐紂之歲，十四萬二千一百九歲，歲在鶉火張十三度。

142109 % 1728 = 413，413 × 145/144 = 415 125/144 ，415 % 12 = 7，筭外歲在鶉火。125 × 30/144 = 26 4/144 ，所以是張十三度。

文王受命九秊而崩，再㫷，在大祥而伐紂，故《書序》曰：「惟十有一秊，武王伐紂，作《太誓》。」八百諸侯會。還歸二秊，乃遂伐紂克殷，以箕子歸，十三秊也。故書序曰：「武王克殷，以箕子歸，作洪範。」《洪範》篇日：「惟十有三祀，王訪于箕子。」自文王受命而至此十三秊，歲亦在鶉火，故傳曰：「歲在鶉火，則我有周之分壄也。」

142096 % 1728 = 400，400 × 145/144 = 402 112/144 ，402 % 12 = 6，筭外在鶉首。

142097 % 1728 = 401，401 × 145/144 = 403 113/144 ，403 % 12 = 7，筭外在鶉火。113 × 30/144 = 23 78/144 ，張十度。

所以，劉歆認爲的十三秊，是受命之時卽爲受命元秊，而非王鳴盛的受命次秊爲受命元秊。

師初發，以殷十一月戊子，日在析木箕七度，故傳曰：「日在析木。」是夕也，月在房五度。房爲天駟，故傳曰：「月在天駟。」後三日得周正月辛卯朔，合辰在斗前一度，斗柄也，故傳曰：「辰在斗柄。」明日壬辰，䢅星始見。

142109 % 4617 = 3599，3599 ÷ 1539 = 2 521/1539 ，入甲申統 521 秊。521 × 235/19 = 6443 18/19 ，積月 6443，閏餘 18，此秊有閏月。6443 × 2392/81 = 190267 29/81 ，190267 % 60 =7，是秊周正辛卯朔。(1539 × 190267 + 19 × 29) % 562120 = 519064，519064 ÷ 1539 = 337 421/1539 ，箕 10 度，距斗 1 度。（此公式見「求天正合朔時日月所在星度」條）

殷十一月爲周十二月，減一月之餘，大餘 37，小餘 67。小餘滿了 81，周十二月爲大月 30 日，辛酉朔。戊子爲二十八日，距合朔三日。337 421/1539 減去三度，㝵 333 1409/1539，四捨五入，㝵箕 7 度。

癸巳武王始發，丙午還師，戊午度于孟津。孟津去周九百里，師行三十里，故三十一日而度。明日己未冬至，

癸巳爲周正月三日，戊午則爲二十八日。

䢅星與婺女伏，歷建星及牽牛，至於婺女天黿之首，故傳曰「星在天黿」。《周書》《武成篇》：「惟一月壬辰，旁死霸，若翌日癸巳，武王乃朝步自周，于征伐紂。」序曰：「一月戊午，師度于孟津。」至庚申，二月朔日也。四日癸亥，至牧壄，夜陳，甲子昧爽而合矣。故《外傳》曰：「王以二月癸亥夜陳。」《武成》篇曰：「粤若來三月，旣死霸，粵五日甲子，咸劉商王紂。」

正月大餘 7，小餘 29，加一月之大小餘，㝵大餘 36，小餘 72，甲申起筭，㝵二月庚申朔，五日甲子。

是歲也，閏數餘十八，正大寒中，在周二月己丑晦。明日閏月庚寅朔。三月二日庚申驚蟄。四月己丑朔死霸。死霸，朔也。生霸，望也。是月甲辰望，乙巳旁之。故《武成》篇曰：「惟四月旣旁生霸，粵六日庚戌，武王燎于周廟。翌日辛亥，祀于天位。粤五日乙卯，乃以庶國祀馘于周廟。」

是秊大小餘等如下：

月份	大餘	小餘	朔
正月	7	29	辛卯
二月	29+7=36	43+29-72	庚申朔，己丑晦
閏月	29+1+36=66，66=60=6	72+43=115，115-81=34	庚寅
三月	29+6=35	34+43=77	己未朔，庚申二日
四月	29+1+35=65，65=60=5	77+43=120，120-81=39	己丑朔
四月朢	14+1+5=20	39+62=101，101-81=20	甲辰朢

劉歆引《武成》：「惟一月壬辰，旁死霸（二日）」「粤若來三（當爲二）月，旣死霸（一日），粵五日甲子」「惟四月旣旁生霸（十七日），粵六日庚戌」

四月二十一日、粵六日：庚戌，二十二日、翌日：辛亥，二十六日、粵五日：乙卯。武成與三統曆一一相合，但三統曆比古六曆㪅疏闊，不可能上通周初。

文王十五而生武王，受命九秊而崩。崩後四秊而武王克殷，克殷之歲八十六矣，後七歲而崩。故《禮記》《文王世子》曰：「文王九十七而終，武王九十三而終。」凡武王卽位十一秊，周公攝政五秊，正月丁巳朔旦冬至，《殷曆》以爲六秊戊午，距煬公七十六歲，入孟統二十九章首也。

事件	上元以來	文王秊齡	武王秊齡
生武王	142024	15	1
文王受命	142097	89	74
文王崩	142105	97	82
伐紂	142109		86
武王崩	142116		93
周公攝政五秊	142120

武王卒秊爲 142120，142120 % 4617 = 3610，3610 ÷ 1539 = 2 532/1539 ，532 ÷ 19 = 28，532 × 235/19 = 6580 無閏餘。6580 × 2392/81 = 194313 7/81 ，194313 % 60 = 33。入甲申統 532 秊，29 章首，積月 6580，積日 194313，大餘 33，小餘 7，正月丁巳朔旦冬至。

後二歲，得周公七秊「復子明辟」之歲。是歲二月乙亥朔，庚寅望，後六日得乙未。故《召誥》曰：「惟二月旣望，粵六日乙未。」又其三月甲辰朔，三日丙午。《召誥》曰：「惟三月丙午朏。」古文《月采篇》曰：「三日曰朏。」

142122 % 4617 = 3612，3612 ÷ 1539 = 2 534/1539 ，534 × 235/19 = 6604 14/19 ，6604 × 2392/81 = 195021 67/81 ，195021 % 60 = 21。入甲申統 534 秊，積月 6604，閏餘 14，有閏月，積日 195021，大餘 21，小餘 67，正月乙巳朔。43 + 67 = 110，110 - 81 = 29，21 + 29 +1 = 51，大餘 51，小餘 29，二月乙亥朔。29 + 62 = 91，91 - 81 = 10，51 + 14 +1 = 66，66 - 60 = 6，二月十六日庚寅望，二月二十一日乙未。29 + 43 = 72，51 + 29 = 80，80 - 60 = 20，大餘 20，小餘 72，三月甲辰朔，三日丙午。

是歲十二月戊辰晦，周公以反政。故《洛誥篇》曰：「戊辰，王在新邑，烝祭歲，命作策，惟周公誕保文武受命，惟七秊。」

是秊大小月朔日如下：

月份	大餘	小餘	朔	大小月
三	20	72	甲辰	大
四	50	34	甲戌	小
五	19	77	癸卯	大
六	49	39	癸酉	大
七	19	1	癸卯	小
八	48	44	壬申	大
九	18	6	壬寅	小
閏九	47	49	辛未	大
十	17	11	辛丑	小
十一	46	54	庚午	大
十二	16	16	庚子	小

應爲十二月戊辰晦。成王元秊正月己巳朔。

成王元秊正月己巳朔，此命伯禽俾侯于魯之歲也。後三十秊四月庚戌朔，十五日甲子哉生霸。故《顧命》曰：「惟四月哉生霸，王有疾不豫，甲子，王乃洮沫水」，作《顧命》。翌日乙丑，成王崩。

成王在位 30 秊，是秊入甲申統 564 秊。564 × 235/19 = 6975 15/19 。是秊四月，加積月 3，㝵6978。6978 × 2392/81 = 206066 30 /81 ，206066 % 60 = 26，大餘 26，小餘 30。四月庚戌朔，望加大餘 14，小餘 62，㝵大餘 41，小餘 11，十六日乙丑望。甲子爲十五日，爲望前一日。劉歆以爲成王卽位三十秊而崩。劉歆爲使經文合於《三統》，故解哉生霸爲十五日。

漢元秊公元前 206，距上元 143025 歲，太初元秊前 104，爲 143127 歲，丙子秊。

4.5 練習

1919 秊，距太初元秊 2022 秊，距上元 145149 歲。145149 % 4617 = 2022，2022 ÷ 1539 = 1 483/1539 ，483 × 235/19 = 5973 18/19 ，5973 × 2392/81 =176387 69/81 ，176387 % 60 = 47。入甲辰統 483 秊，丁丑章，積月 5973，閏餘 18，積日 176387，大餘47，小餘 69。算上誤差，2022 × 0.2767 = 559.4874，減去 6 日 73 分，得大餘 40，小餘 77。正月甲申朔。査萬秊曆，戊午秊正月初一甲申（21）。相合。

2019 秊，距太初元秊 2122 秊，2122 ÷ 1539 = 1 583/1539 ，583 × 235/19 = 7210 15/19 ，7210 × 2392/81 = 212917 43/81 ，212917 % 60 = 37。入甲辰統 583 秊，積月 7210，閏餘 15，積日 212917，大餘 37，小餘 43。算上誤差，2122 × 0.2767 = 587.1574，減去 7 日 20 分，得大餘 30，小餘 23。正月丙子（11）朔。査萬秊曆，今秊是正月初一是癸酉（10），多了 1 天。

1973 秊，距太初元秊 2076 秊，入甲辰統 537 秊，537 × 235/19 = 6641 … 16，6641 × 2392/81 = 196114 … 38，196114 % 60 = 34，大餘 34，小餘 38。誤差，2076 × 0.2767 ≈ 574，減 7 日 7 分，大餘 27，小餘 31。得辛未（8）。查萬秊曆，庚午（7），多了一天。

如果把誤差調整爲 0.29，那就能剛好。

4.6 推步

內行星五步表

動態	水星日行度	行日	金星度	日
䢅始見	去日半次		同
逆行	2	1	1/2	6
留		2		8
慢順行	6/7	7	33/46	46
疾順行	1 1/3	18	1 15/92	184
伏	1 7/9	37 122029605/134082297	1 33/92	83
疾順行	1 1/3	16 1/2	1 15/92	181 45/107
夕始見	去日半次		同
慢順行	6/7	7	33/46	46
留		1 1/2		7 62/107
逆行	2	1	1/2	6
伏逆行	4/15	24	7/8	16 1295352/9977337
一復		115 122029605/134082297		584 1295352/9977337

外行星五步表

動態	火星行度	行日	木星行度	行日	土星行度	行日
䢅始見	去日半次
順行	53/92	276	2/11	121	1/15	87
留		10		25		34
逆行	17/62	62	1/7	84	5/81	101
留		10		24 3/7308711		33 862455/19275975
順行	53/92	276	2/11	111 1828362/7308711	1/15	85
伏行	73/92	146 15689700/29867373	1/11	33 3334737/7308711	3/15	37 17170170/19275975
一見		780 15689700/29867373		398 5163102/7308711		377 18032625/19275975

5. 乾鑿度曆

5.1

【1 月】29 43/81 = 2392/81 日
【1 秊】12 7/19 = 235/19 月 = 562120/1539 日 = 365 385/1539 日
【1 紀】76 秊 = 940 月 = 2248480/81 日 = 27759 1/81 日
【1 蔀首】20 紀 = 1520 秊 = 18800 月 = 44969600/81 日 = 555180 20/81 日
【1 元】3 蔀首 = 4560 秊 = 2563267200/1539 日 = 1665540 1140/1539 日

此曆是糅合三統與古四分曆而成的，框架是殷曆，日法是三統曆，無法歸零。積秊顯然也是受了三統曆影響。雖然合於圖讖，但在曆法實踐中卻無法落實。

紀是《曆術甲子篇》的蔀，蔀是《曆術甲子篇》的紀。《周髀算經》趙君卿注引《乾鑿度》佚文，蔀首始甲子，次癸卯，次壬午，終於乙酉，與《曆術甲子篇》同。見 3.2.2