律曆初階下｜六：數學工具

幾何

會圓術

會圓術求法：半弦長 c = sqrt (r^2 - (r-h)^2)。尤其需要注意的是，會圓術的標準是週天度 365.25，直徑 121.75，卽「週三徑一」，這箇單位系是以 3 爲標準，而非圓周率 π鄧可卉授時曆中的弧矢割圓術再探，自然科學史研究2007(2)，所以在與三角函數對照時，需要進行參照系轉換，詳見源代碼。可以發現，弧 - 矢之間的轉換誤差大約在 1 度以內，而弦長誤差多達 5 度餘，這是單位系不同造成的。在弧矢割圓術中，以弧作爲入口，用會圓術轉換爲弦長，最後再以弧作爲出口，將弦長轉換爲弧長，單獨來看，弦長的誤差相當大，但是在同一箇單位系之中，這是自洽的。

傅宗隙積術和會圓術：

弧矢割圓術

圖中國古代曆法頁 627中 AOE 是赤道，AOD 是黃道，BD 是已知的黃道度，求 CE 長卽赤道度、BC 長赤緯。

授時用弧矢割圓術進行太陽黃赤轉換。授時黃赤轉換用幾何模型，此前的曆法都是經驗公式。由於會圓術的誤差，弧矢割圓術的誤差甚至比紀元的經驗公式還略差。弧矢割圓術是近似三角形、勾股定理、會圓術的組合，前兩者都是精確公式，只有會圓術是近似公式，那麼從理論上來講，如果用三角函數代替會圓術，就能得到和球面三角完全一致的結果，實際上也是這樣的。

授時只有黃度轉赤度的方法，我另外推導出了赤度轉黃度的方法：從 C 向上作垂線，與 OB 相較於點 T，T 超出了球體。從 P 向上作垂線，交 OD 於 Q。有了這兩條輔助線，就可以從赤轉黃了。

大衍術

大衍求一術

解一次同餘式的核心模塊，孫子定理、不定方程、調日法、演紀都需要求一術。輸入兩箇互質整數衍數、定母，求方程 a * x ≡ 1 (mod b) 的解 x

大衍總數術

卽解同餘式組，是秦九韶推廣之孫子定理。求解多組 x ≡ r_i (mod m_i) ，有解的充要條件是 gcd (m_i, m_i+1) | abs (r_i - r _i+1)；依次輸入各組餘數 r、元數 m。孫子定理有解的充要條件：(m₁,m₂ | |r₁-r₂|) 1、定母 i|元數 i；2、定母互質；3、M=定母相乘=元數的最小公倍數。在孫子定理中，模數需兩兩互質，而秦九韶將不互質的元數變爲互質的定母，進而可以使用孫子定理求解。

連分數

給定一箇分數，求其連分數、各漸進連分數。非常適合與調日法參照。古代數學似乎沒有小數，都是分數運算，而計算機程序都是浮點運算，所以也可以用這箇工具將計算機計算出的結果轉換爲分數。

調日法

一箇朔望月是 29.53059 日有餘，在授時以前都用分數來表示小分。自何承天元嘉始，以 彊子 26 / 彊母 47 爲彊率，以 弱子 9 / 弱母 17 爲弱率，則 朔餘 / 日法 可表示爲 (26m+9n) / (49m+17n) ，m 卽陽率彊數，n 卽陰率弱數，彊弱率之間的任何數都可以作如上表示。調日法是南系、隋系、唐系、宋系的不傳之祕，直到乾嘉時期李銳纔闡明此法更多見 劉鈍 李銳、顧觀光調日法工作述評，自然科學史研究1987(2)；陳久金調日法研究1984(3)；李繼閩關於調日法的數學原理，西北大學學報 1985(2)。

無窮調日法是我自己的一點點小改進。彊弱率需滿足如下條件：，卽 彊子 * 弱母 - 彊母 * 弱子 = 1 。那麼推廣開來，26/47 和 9/17 只是一種可能性而已，適合求朔分 0.5305 附近的數，而任何滿足這箇條件的彊弱二率，都可以用來調制。只需要輸入分母卽曆法中的日法、彊率，便會自動根據大衍求一術求出弱率，再根據李銳公式求出分子卽曆法中的朔餘和彊弱數卽加權 ；也可以同時輸入分子和分母，根據累彊弱之數、李銳、顧觀光-陳久金三種方法各自生成彊弱數。這推廣開來的調日法就是無窮調日法。輸入框中默認是何承天彊率。不過李銳公式有一箇限制，必須滿足 弱數 < 彊母，例如玄始曆 47251 / 89052，李銳公式解得 47252 = 26×1816 + 9×4，累強弱、顧-陳公式解得 47251 = 26×1799 + 9×53，卽 47251 / 89052 和 47252 / 89052 都滿足調日法，但李銳公式求不出前者。

宋明天曆作者周琮論調日法曰：

自漢太初至于今，冬至差十日，如劉歆三統復強於古，故先儒謂之最疏。後漢劉洪考驗四分，於天不合，乃減朔餘，苟合時用。自是已降，率意加減，以造日法。宋世何承天更以四十九分之二十六爲強率，十七分之九爲弱率，於強弱之際以求日法。承天日法七百五十二，得一十五強，一弱。自後治曆者，莫不因承天法，累強弱之數，皆不悟日月有自然合會之數。

今稍悟其失，定新曆以三萬九千爲日法，六百二十四萬爲度母，九千五百爲斗分，二萬六百九十三爲朔餘，可以上𥡴於古，下驗於今，反覆推求，若應繩準。又以二百三十萬一千爲月行之餘月行十三度之餘，以一百六十萬四百四十七爲日行之餘日行周天之餘。乃會日月之行，以盈不足平之，幷盈不足，是爲一朔之法日法也，名元法。今乃以大月乘不足之數，以小月乘盈行之分，平而幷之，是爲一朔之實周天分也。以法約實，得日月相會之數，皆以等數約之，悉得今有之數盈爲朔虛，不足爲朔餘。又二法相乘爲本母，各母互乘，以減周天，餘則歲差生焉，亦以等數約之，卽得歲差、度母、周天實用之數。此之一法，理極幽眇，所謂反覆相求，潛遁相通，數有冥符，法有偶會，古曆家皆所未達以等數約之，得三萬九千爲元法，九千五百爲斗分，二萬六百九十三爲朔餘，六百二十四萬爲日度母，二十二億七千九百二十萬四百四十七爲周天分，八萬四百四十七爲歲差。上宋志七

以下是各曆朔餘、日法：

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[
    [43, 81], // 三統 大於強率
    [499, 940], // 四分 大於強率
    [773, 1457], // 乾象
    [6409, 12079], // 黃初
    [2419, 4559], // 景初
    [18703, 35250], // 正曆 李銳求不出
    [3217, 6063], // 三紀
    [47251, 89052], // 玄始 李銳求不出
    [399, 752], // 元嘉
    [2090, 3939], // 大明
    [815, 1536], // 大同
    [39769, 74952], // 正光 李銳求不出
    [110647, 208530], // 興和 李銳求不出
    [607, 1144], // 劉孝孫大業
    [155272, 292635], // 天保 李銳求不出
    [153961, 290160], // 天和 李銳求不出
    [28422, 53563], // 大象 大於強率
    [96529, 181920], // 開皇 大於強率
    [659, 1242], // 皇極
    [6901, 13006], // 戊寅
    [53.06, 100], // 神龍 累強弱求不出 李銳說不合，我求得出<n>因爲乘了 100</n>
    [711, 1340], // 麟德五紀
    [1613, 3040], // 大衍
    [581, 1095], // 正元
    [4457, 8400], // 宣明
    [7163, 13500], // 崇玄
    [3820.28, 7200], // 欽天 累強弱求不出 李銳求不出
    [5307, 10002], // 應天 累強弱求不出
    [1560, 2940], // 乾元 累強弱求不出
    [5359, 10100], // 儀天
    [5619, 10590], // 崇天 累強弱求不出
    [20693, 39000], // 明天
    [12575, 23700], // 奉元 累強弱求不出
    [6383, 12030], // 觀天
    [14899, 28080], // 占天
    [3868, 7290], // 紀元 累強弱求不出。陳久金：27076/51030
    [3677, 6930], // 統元
    [15917.76, 30000], // 乾道 累強弱求不出 李銳求不出
    [2992.56, 5640], // 淳熙 累強弱求不出 李銳求不出
    [20534, 38700], // 會元 累強弱求不出
    [6368, 12000], // 統天 大於強率
    [8967, 16900], // 開禧
    [1873, 3530], // 淳祐
    [5168, 9740], // 會天 累強弱求不出
    [3937, 7420], // 成天
    [2775, 5230], // 大明 累強弱求不出
    [10978, 20690], // 乙未 累強弱求不出
    [5305.93, 10000], // 授時 累強弱求不出 李銳求不出
]

累強弱法剛寫出來的時候把各曆都算了一遍，上面是當時的情況，發現欽天以後大量朔餘用累強弱之數法算不出來。後來寫了分解公因數程序，突然發現這些求不出來的全都是可以通分的，通分之後就都求出來了！看來宋曆的 朔餘 / 日法 還照顧了其他因素。而李銳公式求不出的，我通分之後依然求不出。

• 三統遠超強率 26/49，但另有方法。用連分數逼近，求得各漸進分數： (1) 0/1 (2) 1/1 (3) 1/2 (4) 8/15 (5) 9/17 (6) 17/32 (7) 43/81，其中 17/32 大於 43/81，可以作爲強率，於是弱率爲 9/17。算調日法，得 43 = 17×2 + 9×1，81 = 32×2 + 17×1，2 彊 1 弱。可是這樣就算調出來了也毫無意義，因爲三統是以律起曆用三分損益率構造日法，當然跟調日法毫無關係。
• 同理，四分曆各漸進分數： (1) 0/1 (2) 1/1 (3) 1/2 (4) 8/15 (5) 9/17 (6) 17/32 (7) 26/49 (8) 43/81 (9) 499/940，因此可以用三統 43/81 作爲強率，弱率得 26/49，得 11 強 1 弱。四分曆也可以調出來，同樣，毫無意義。
• 大象曆也超過了強率。劉洪濤認爲，大象是以四分曆499/940 爲強率，以何承天 9/17 爲弱率，得 (499*1107 + 9*11257)/(940*1107 + 17* 11257) = 28422/53563。古代曆法計算法頁 617但這兩箇強弱率不能用大衍求一術得到。
• 統天超過強率，按照調日法求出來是 6367，多出來的 1 是留給朔實消長的空間。
• 開禧以弱換強：16900=169*49+507*17=339*49+17*17=(169+17*10)*49+(507-49*10)*17
• 乾道用李銳公式算出來的是以弱換強之後的，但數學上我不太懂，以弱換強的話，日法都是一樣的，爲何朔餘就不一樣了？

垛積術

「垛積」卽等差級數求和。

隙積術 芻童垛

「芻童」卽長方稜臺。上有寬 a 箇、長 b 箇，下有寬 c 箇、長 d 箇，共 n 層，每層長寬各多 1 箇。

四角垛 方垛

卽自然數平方級數求和。1+4+9+...+n^2 = 1/3 n (n+1) (n+1/2)=1/6 n (n+1) (2n+1)

三角垛 落一形垛

源於七乘方圖。p = 2 時，1+3+6+10+...+n (n+1) /2 = 1/6 n (n+1) (n+2)。通項公式：1/(p+1)! n (n+1) (n+2) ... (n+p)

招差術

一箇 p 次多項式可表爲一箇 p 次內插公式；以 p 次多項式爲通項的 p 階等差數列的和是一箇 p+1 次多項式。招差術的實質是將高階等差數列的通項多項式表爲內插公式。招差的差系由給定的數列求得，內插的差系由數列的和函數求得。 李兆華、程貞一朱世傑招差術探原，自然科學史研究2000(1)。招差術與牛頓內插等價。

參考資料

這個網站是古代曆法研究者的共同智慧結晶，在此表示感謝太多了，我就只列作者和篇名：

天學章

1. 點擊下載鄭慧生認星識曆——古代天文曆法初步河南大學出版社，2006 秊的 星圖我按歲星的旋轉順序排的。注意：星圖是左東右西。
2. 徐振濤、蔣窈窕五行聚合與夏商周秊代硏究北亰：世界圖書出版公司，2006 秊可作爲入門導讀。不過這麼水的書都能筭斷代工程……
3. 古代曆法 的書
4. 敎材自然地理學
5. 知乎。維基百科。

古籍

• 各史曆志
• 開元占經
• 寶祐四年會天曆
• 馮立昇主編疇人傳合編校注，中州古籍，2012
• 鄧文寬敦煌天文曆法文獻輯校
• 梅文鼎梅氏叢書輯要
• 李銳李氏遺書
• 李亮等編海外珍稀中國科學技術典籍集成，2010

專書、論文集

• 劉洪濤古代曆法計算法
• 張培瑜等中國古代曆法
• 陳美東古曆新探
• 陳美東中國科學技術史稿頁 106
• 曲安京中國曆法與數學
• 曲安京中國數理天文學
• 秦九韶與數書九章

古曆的計算機模擬

目前發現了三篇博士論文：

• 邢钢 中国早期历法的计算机模拟分析与综合研究，中國科學技術大學博士論文，2005 年
• 李亮明代历法的计算机模拟分析与综合研究，中國科學技術大學博士論文，2011 年
• 滕艳辉宋代朔闰与交食研究，西北大學博士論文，2012 年

論文

躔離氣朔

• 陈美东：日躔表之研究
• 陈美东：月离表初探
• 徐传胜：乾象历月离表数理分析
• 尚晓清：大衍历定朔算法及程序说明
• 滕艳辉：纪元历定朔算法模型及分析
• 滕艳辉等：纪元历等 8 部宋代历法的定朔推步及精度分析
• 马莉萍：中国古代历法中合朔时的太阳位置
• 王荣彬：中国古代历法的中心差算式之造术原理
• 李勇：中国古历定朔推步综述
• 李勇：中国古历经朔数据的恢复及应用
• 滕艳辉：宋代历法中的置闰算法
• 李勇：明嘉靖六年大统历历书的气朔推步精度
• 滕艳辉：统天历的岁实消长与气朔算法分析
• 刘娅娅：朱载堉对授时历岁余计算的检验与修正
• 张祺：梅文鼎和江永的回归年消长法

天文計算

• 陈美东：中国古代有关历表及其算法的公式化
• 王锦瑞：明天历岁差与上元积年
• 陈美东：中国古代太阳视赤纬计算法
• 江晓原：中国古代对太阳位置的测定和推算
• 陈美东：中国古代昼夜漏刻长度的计算法
• 纪志刚：麟德历晷影计算方法研究
• 陈美东：中国古代月亮极黄纬计算法
• 陈久金：九道术解
• 周靖：月行九道考
• 曲安京：授时历的白赤道坐标变换法

交食

• 刘金沂：隋唐历法中入交定日术的几何解释
• 滕艳辉：戊寅元历的日月食推算方法
• 刘金沂：麟德历交食计算法
• 滕艳辉：崇天历的日食推步术
• 袁敏：明天历日食算法分析
• 滕艳辉：纪元历日食算法及精度分析
• 李勇：授时历交食推步研究
• 唐泉：授时历和回回历法中的日食时差算法
• 李勇：授時曆與仲康日食推算
• 李勇：中国元明时期交食推步的比较研究
• 陈美东：中国古代的月食食限及食分计算法
• 曲安京：中国古代日食食限与食分算法
• 滕艳辉：宋代的日食食限算法
• 曲安京：中国古代的日食时差算法
• 唐泉：中国古代的日食食分算法
• 曲安京：中国古代的月食时差算法
• 李鉴澄：中国历代日月交食周期的研究
• 马莉萍：中国古代交食的宿度记录及其算法

曆法數學

• 陈久金：调日法研究
• 李继闵：关于调日法的数学原理
• 刘钝：李锐顾观光调日法工作述评
• 李继闵：再评清代学者的调日法研究
• 曲安京：中国古代的二次求根公式与反函数
• 曲安京：唐宋历法演纪上元实例及算法分析
• 曲安京：东汉到刘宋时期历法上元积年计算
• 王翼勋：开禧历上元积年的计算
• 王翼勋：秦九韶演纪积年法初探
• 王锦瑞：明天历天文常数系统中的缺陷解析

招差術

• 李兆华：朱世杰招差术探原
• 李兆华：朱世杰的垛积术与四次内插法
• 李兆华：平立定三差详说的一点注记
• 曲安京：皇极历中的漏刻差分表
• 刘钝：皇极历中等间距二次插值方法术文释义及其物理意义
• 武家璧：大衍历日躔表的数学结构及其内插法
• 曲安京：大衍历晷影差分表的重构
• 王荣彬：中国古代历法三次差插值法的造术原理
• 陈美东：崇玄仪天崇天三历晷长计算法及三次差内插法的应用

普通曆法

• 刘次沅：史记历术甲子篇探讨
• 武家璧：包山楚简的岁首占及其历朔断代
• 武家璧：简论楚《颛顼历》
• 严敦杰：补北齐书历志
• 黃一農：中國史曆表朔閏訂正舉隅–以唐麟德曆行用時期爲例
• 劉金沂：李淳風的曆象志和乙巳元曆
• 钮卫星：符天历历元问题再研究
• 陈久金：符天历研究
• 孔庆典：七元甲子术研究
• 陈久金：回人马依泽对宋初天文学的贡献
• 邱靖嘉：遼史曆象志溯源——兼評晚清以來傳統曆譜的系統性缺陷
• 邱靖嘉：辽史所见祖冲之大明历的文献价值发覆
• 郭津嵩：撒馬爾干的中國曆法——耶律楚材的西征庚午元曆及其里差法考辨

具注曆

• 李勇：中国古历中的步发敛
• 朱双双：中国古历没灭术研究
• 何啓龍：授時曆具注曆日原貌考
• 金身佳：敦煌写本宅经 P.3594 九方色图试释
• 宁宇：敦煌写本时日宜忌文书之思想主题探赜
• 邓文宽：敦煌古历丛识
• 邓文宽：敦煌文献 S2620 号唐年神方位图试释
• 華瀾：敦煌曆日探研
• 邓文宽：跋吐鲁番文书中的两件唐历
• 何伟凤：黑水城出土元代历日研究

數學

• 甘向阳：九章算术刘徽注中的算法分析工作与算法分析思想
• 陈巍：五经算术的知识谱系初探
• 沈康身：数书九章大衍类算题中的数论命题
• 汪晓勤：数书九章大衍类算题的若干注记
• 一次同余式组的程序求解
• 陈维海：用 BASIC 程序实现求高次方程实根的斯特姆秦九韶方法
• 朱一文：秦九韶「历家虽用用而不知」解
• 侯钢：秦九韶大衍总数术中问数化定数算法解析
• 王翼勋：从大衍术到大衍求一术
• 段耀勇：刘徽开方与增乘开方法
• 梅荣照：贾宪的增乘开方法_高次方程数值解的关键一步
• 李兆华：增乘开方法与贾宪三角形
• 傅宗：隙积术和会圆术——沈括梦溪笔谈评注一则

現代天文

• 李文：地球椭球模型中太阳位置计算的改进
• 张富、张丽娟、邱本志：一种计算太阳低仰角蒙气差的有理函数逼近方法
• 丁豔、袁隆基、趙培濤、仝軍令：太陽視日軌跡跟蹤算法研究