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西方律學入門

主要依據爲繆天瑞律學,人民音樂出版社,1996 年第 3 版,外加我箇人的一點想法。看完此篇,可構建起一箇較完整的西方律學知識框架。

此四篇擬作爲下學期在琴社開設古琴音律系列講座的講義,計劃分爲六講。其中一、三篇是關於律學的,二、四篇是關於調學的,若能依次看完,則能對古琴的律調系統有一箇大致的框架。我們是大學生,總要學一些稍微專業一點的東西,要跟「社會人士」有些不一樣纔行。古代調學若无一點基礎性概念,則有若唸天書,建立起一箇框架後,自能應對自如,各種知識都能放進去,卽使有不懂的,也能知道如何解決。所謂萬事開頭難,卽是如此。

一、一些基礎知識

  • 最低的頻率爲基音,頻率爲基音 2 倍的稱爲二倍音(八度)、三倍音(八度加純五度)、四倍音、五倍音(兩箇八度加純律大三度)……
  • 國際標準音高從古到今不斷升高。現在第一國際高度 A1=440,第二國際高度 A1=435。物理學高度 / 理論標準高度,五度相生律:A1 = 432,純律:A1 = 426.66。
  • 音程的命名規則:一度、四度、五度、八度完全和諧,因此前加「純」「完全」,一度、四度、五度、八度只有減—純—增,其餘的只有減—小—大—增。大調音階中,每箇音和第一箇音的距離爲「完全」「純」或「大」,如 C-D 是大二度,C-F 是純四度。1-b3 / C-bE 是小三度。2-#6 / D-#A 是增五度。
  • 轉位:生律的次數相同,方向相反,相加等於八度。轉爲音程換算規則:增─減,大─小,純─純,如增二度轉位後爲減七度,大三度轉位後爲小六度。
  • 平行調:主音相同,關係調:主音不同,音名全同。
  • 律制:規定音階中各箇音高的方法。
  • 律學:研究律制的學問。

發音原理

樂器根據發音原理可分爲五類:

(1)弦振

弦振截止之處稱爲節點,弦振中心稱爲腹點。一根弦分節振動,同時包含基音、二倍音、三倍音……人爲迫使弦分節振動的就稱爲泛音。可以想見,五徽(弦的 13 )泛音和按音音高相同,九徽(弦的 23 )泛音是按音的兩倍。

(2)氣振

運用超吹的方法,可以使倍音轉化爲基音(類似弦振的泛音)。管子分爲開管與閉管,開管兩端敞開,閉管有一端封閉,同樣長度,開管比閉管高八度。氣柱長度比管子長度略長,因而需要進行管口校正。

(3)膜振

膜振不能發出整數倍的音,因而音高模糊不定。

(4)體振

鑼、鈸、鐘等。

(5)電振

各種電音。

二、音律計算法

  • 只有「頻率比」纔能表示聽覺上的音程大小,因此計算時是以「乘積」爲基準,而不是簡單的「乘法」,涉及乘積的運算爲指數、對數、開方。當音程爲 x 軸,頻率比爲 y 軸時,是一箇指數函數;當頻率比爲 x 軸,音程爲 y 軸時,是一箇對數函數。用對數把頻率比化爲音程之後,就可以進行加減運算了。
  • 計算音律時一般限於一箇八度之內,因此升降多少次之後還有乘或除以多少箇 2。
  • 兩音程之和的頻率比=兩音程頻率比相乘,兩音程之差的頻率比=兩音程頻率比相除。 如,純四度和純律大三度之和爲純律大六度,其頻率比爲 43 × 54 = 53

音程值有四種:對數值、八度值、音分值、平均音程值。

對數值

對數值 = lg頻率比。八度的對數值 = lg2 ≈ 0.30103。

這裡指的對數值是以 10 爲底數所取的值。以 2 爲底數的值稱爲八度值。八度值和音分值更加直觀,因此我不用對數值。

八度值

用 1 表示八度的音程,對數值的欲求值:八度值的欲求值 = 對數值的八度值 : 八度值的八度值 = 0.30103 : 1,因此八度值 = 對數值 × 3.32193。

但其實不用上述這麼算。八度值 = log2頻率比

至於爲什麼底數是 2?頻率比爲 x 軸,八度值爲 y 軸的對數函數,當頻率比爲 2 時,八度值爲 1,卽 1=loga2,所以 a=2。

已知音 b和音分值 n,音 a=b*2八度值

音分值

以十二平均律爲標準計算其他律制音程。把一箇八度分爲 1200 份,卽音分值=1200*八度值。每箇半音的音程爲 100 音分。1 音分等於{\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}},近似 1.0005777895。

平均音程值

八度爲 6,半音爲 0.5,一般保留小數點後 2 位。

三、五度相生律

(一)產生法

五度相生法:隔五度相生。向上:一直乘 32 (純五度),再除以多少箇 2。向下:一直乘 23 (純四度),再乘多少箇 2。

下表爲 C 調/黃鐘均,卽從 C 出發,一箇八度內所有平均律的音。

C 向上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
頻率比 32 98 2716 8164 243128 729512 21872048 65614096 1968316384 5904932768 177147131072 531441524288
音分 702 204 906 408 1110 612 114 816 318 1020 522 23.46
音名 G D A E B #F #C #G #D #A #E #B(C)
律呂 林鐘 太簇 南呂 姑洗 應鐘 蕤賓 大呂 夷則 夾鐘 无射 仲呂 清黃鐘
C 向下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
頻率比 43 169 3227 12881 256243 1024729 40962187 81926561 3276819683 6553659049 262144177147 1048576531441
音分 498 996 294 792 90 588 1086 384 882 180 678 1176.54
音名 F bB bE bA bD bG bC bF bbB bbE bbA bbD
律呂

◎古琴十徽發的仲呂是 F 而非 #E。

古代三分損益法是以長度來進行計算的(有先向上和先向下兩種算法,但結果都一樣):

黃鐘 81__損__林鐘 54__益__太簇 72__損__南呂 48__益__姑冼 64__損__應鐘 42 23__益__蕤賓 56 89__益__大呂 75 2327__損__夷則 50 4681__益__夾鐘 67 103243__損__无射 44 692729__益__仲呂 59 20392187__損__清黃鐘

我們可以據此推出律呂和音名是如何對應的。可見,三分損益法其實全都是向上生的。

五度律面臨不能周而復始的問題:C 向上生 12 次,變爲 #B,不能回到 C。

(二)半音與全音

五度律的半音分兩種,五度律小半音和大半音。小半音/自然半音:向下生 5 次,(23)5 × 23 = 256243 (90 音分)

大半音/變化半音:向上生 7 次,(32)7 /24 = 21872048 (114 音分)

大全音:向上生 2 次,(32)2 ÷ 2 = 98 (204 音分)

最大音差 = 大半音 - 小半音 = 531441524288 ,24 音分

大全音=大半音+小半音

D_小半音_bE_最大音差_#D_小半音_E

大全音=8.5 箇最大音差,約等於 9,可把大全音分爲 9 份,從下方音開始數,下方音的升音(大半音)佔 5 份,上方音的降音(小半音)佔 4 份。純律小半音佔 3 份,純律大半音佔 5 份。

(三)音階

五度律大音階:向上生 5 次,向下生 1 次。

音名 C D E F G A B C2
頻率比 1 98 8164 43 32 2716 243128 2
相鄰頻率比 1 98 98 256243 98 98 98 256243
音分 0 204 408 498 702 906 1110 1200
相鄰音程 一度 大全音 大全音 小半音 大全音 大全音 大全音 小半音

五度律自然小音階:向上生 2 次,向下生 4 次。

音名 C D bE F G bA bB C2
頻率比 1 98 3227 43 32 12881 169 2
相鄰頻率比 1 98 256243 98 98 256243 98 98
音分 0 204 294 498 702 792 996 1200
相鄰音程 一度 大全音 小半音 大全音 大全音 小半音 大全音 大全音

和聲小音階:在自然小音階的基礎上換用大音階的導音(第七音級):

音名 C D bE F G bA B C2
頻率比 1 98 3227 43 32 12881 243128 2
相鄰頻率比 1 98 256243 98 98 256243 1968316384 256243
音分 0 204 294 498 702 792 1110 1200
相鄰音程 一度 大全音 小半音 大全音 大全音 小半音 增二度 小半音

四、純律

純律是三種律制中最複雜的。

(一)音階

純律按照大三和弦生律。純五度加大三度組成大七度,純五度減大三度組成小三度。當構成大三和弦 C─E─G、F─A─C、G─B─D 時,用純律㝡和諧。

大音階

在五度律純五度基礎上加入五倍音純律大三度(頻率比 5/4,386 音分)而成。如下圖:

text

音名 C D E F G A B C2
頻率比 1 98 54 43 32 53 158 21
音分 0 204 386 498 702 884 1088 1200
相鄰音程 一度 大全音 小全音 大半音 大全音 小全音 大全音 大半音

純律大調 EAB 三箇都比五度律大調低一箇普通音差,加下劃線表示比五度律同名音低一箇普通音差,兩箇下劃線表示低兩箇普通音差。

自然小音階

在五度律純五度基礎上加入五倍音到六倍音的音程純律小三度(頻率比 6/5,316 音分)而成。如下圖:

text

音名 C D bE F G bA bB C2
頻率比 1 98 65 43 32 85 95 21
音分 0 204 316 498 702 814 1018 1200
相鄰音程 一度 大全音 大半音 小全音 大全音 大半音 大全音 小全音

純律小調 EAB 三箇都比五度律大調高一箇普通音差。

和聲小音階

把自然小音階品的導音 bB 改爲 B

音名 C D bE F G bA B C2
頻率比 1 98 65 43 32 85 375192 21
音分 0 204 316 498 702 814 1088 1200
相鄰音程 一度 大全音 大半音 小全音 大全音 大半音 增二度 大半音

(二)純律音系網

text

右上比左下高大三度(粗斜線),左上比右下高小三度(細斜線),下一行的同名律比上一行高一箇普通音差,右方比左方高純五度,這樣就可以求得相應的頻率比了。相距一箇大三度和小三度的,爲小半音;相距一箇純五度和大三度的,爲大半音。

需要注意的是,選取不同的調時,該調中的各音需要在完整的在這幅圖中,如 D 調的主音是 D 而非 D。其實音系網可以无限擴張,但有意義的就是圖中那麼多,這就是爲什麼一箇調的所有音一定要全部在圖中。

(三)全音和半音

由於 E 較低,因此 D─E 音程較小,稱爲小全音,頻率比 10/9,182 音分。

大全音同五度律。

「普通音差」「諧調音差」簡稱「音差」= 大全音 ﹣ 小全音 = 8180 ,22 音分。

E─F 音程較大,稱爲純律大半音 / 變化半音,頻率比 1615 ,112 音分。

C 大調中,C 和 D 之間的兩箇半音我們選# C(表示兩箇下劃線,html 不支持兩箇下劃線的樣式)和 bD,爲何選這兩箇而不選 #C 和 b D呢?一箇訣竅:在音系圖上找連接次數最少的。可以算出 C 到 # C 頻率比 25/24,71 音分(純律小半音),bD 頻率比 16/15,112 音分(純律大半音)。

大半音﹣小半音=128/125,41 音分=1 大第西斯。

D_小半音_# D_大第西斯_b E_小半音_E

五、十二平均律

含義:十二箇相鄰半音頻率比相同。

(一)產生法

五度律向上生 12 次,得到 #B,與 C 相差最大音差 24 音分,現在若把每次相生的純五度都減小最大音差的 1/12,卽 2 音分,就可以回到 C 了。五度律每次向上生 702 音分,所以平均律向上升 700 音分,換算成頻率比,700=1200log2x,x=2712=433289 。(當然,用音分算本應是小數,會有點誤差,不過略方便理解)

下表爲平均律 C 調/黃鐘均,卽從 C 出發,一箇八度內所有平均律的音。

C 向上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
頻率比 433289 449400 3722 6350 16889 14099 8984 10063 4437 9855 303227 21
音分 700 200 900 400 1100 600 100 800 300 1000 500 1200
音名 G D A E B #F #C #G #D #A F C2
律呂 林鐘 太簇 南呂 姑洗 應鐘 蕤賓 大呂 夷則 夾鐘 无射 仲呂 清黃鐘

(二)半音

既然向上升向下生結果都一樣了,便出現同音異名現象:C=#B bbD,#C=xB bD,D=xC bbE,#D=bE bbF,E=xD bF,F=#E bbG,#F=xE bG,G=xF bbA,#G=bA,A=xG bbB,#A=bB bbC,B=xA bC。

(三)音階

調號對應圖:

自然大調
音名CDEFGABC
音分020040050070090011001200
自然小調
音名ABCDEFGA
音分020030050070080010001200

六、三種律制的比較

  • 98 大全音、 43 純四度、 32 純五度同時存在於五度相生律和純律。
  • 可以看出,大音階中,五度律有六箇音比平均律高,純律有六箇音比平均律低,且平均律更接近五度律。

下爲音程表。從 C 開始排列。(除了大全音、純八度、純四度、純五度和純律相同,其他音程前都加「五度律」)

五度律:

音名 C #B bD #C bbE D bE #D bF E F #E bG #F bbA G bA #G bbB A bB #A bC B bbD
音程 純一度 最大音差/增七度 小半音/小二度 大半音/增一度 減三度 大全音/大二度 小三度 增二度 減四度 大三度 純四度 增三度 減五度 增四度 減六度 純五度 小六度 增五度 減七度 大六度 小七度 增六度 減八度 大七度 減二度
音分 0 24 90 114 180 204 294 318 384 408 498 522 588 612 678 702 792 816 882 906 996 1020 1086 1110 1176

純律:

text

B─F 爲減五度, 6445 ,610 音分,F─B 爲增四度, 4532 ,590 音分D─A 爲狹五度, 4027 ,680 音分。

平均律:

音名 C #C D #D E F #F G #G A #A B C
音程 純一度 增一度、小二度 大二度、減三度 增二度、小三度 大三度、減四度 增三度、純四度 增四度、減五度 純五度、減六度 增五度、小六度 大六度、減七度 增六度、小七度 大七度、減八度 純八度
音分 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

彩蛋

存儲空間失效了,算了,沒工夫重新做一遍。

說了那麼多,我們來點直觀的。這箇 音頻 依次是五度律、平均律、純律,A=440 和 #C 大三度和弦。檢驗你耳力的時候到啦,#C 依次是 556.88、554.4、550,是不是純律聽著最和諧呀~

音頻 現在來一箇 A-#C-E 大三和弦,五度律、純律的 E 是 660,平均律是 659.24。

音頻 五度律增二度:528.6,平均律增二度:523.24,純律增二度:515.63。

音頻 五度律最大音差:446,五度律小半音:463.54,五度律大半音:469.86,大全音:495。

音頻 平均律半音:466.19,全音:493.9。

音頻 純律大第西斯:450.56,純律小半音:458.33,純律大半音:469.33,小全音:488.89。

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柯棋瀚

作者

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