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西方律學入門

主要依據爲繆天瑞律學,人民音樂出版社,1996 年第 3 版,外加我箇人的一點想法。看完此篇,可構建起一箇較完整的西方律學知識框架。

此四篇擬作爲下學期在琴社開設古琴音律系列講座的講義,計劃分爲六講。其中一、三篇是關於律學的,二、四篇是關於調學的,若能依次看完,則能對古琴的律調系統有一箇大致的框架。我們是大學生,總要學一些稍微專業一點的東西,要跟「社會人士」有些不一樣纔行。古代調學若无一點基礎性概念,則有若唸天書,建立起一箇框架後,自能應對自如,各種知識都能放進去,卽使有不懂的,也能知道如何解決。所謂萬事開頭難,卽是如此。

一、基礎知識

  • 最低的頻率爲基音,頻率爲基音 2 倍的稱爲二倍音八度、三倍音八度加純五度、四倍音、五倍音兩箇八度加純律大三度……
  • 國際標準音高從古到今不斷升高。現在第一國際高度 A1=440,第二國際高度 A1=435。物理學高度 / 理論標準高度,五度相生律:A1 = 432,純律:A1 = 426.66。
  • 音程:兩個音的距離。音程的命名規則:一度、四度、五度、八度完全和諧,因此前加「純」「完全」,一度、四度、五度、八度只有減—純—增,其餘的只有減—小—大—增。大調音階中,每箇音和第一箇音的距離爲「完全」「純」或「大」,如 C-D 是大二度,C-F 是純四度。1-b3 / C-bE 是小三度。2-#6 / D-#A 是增五度。
  • 轉位:生律的次數相同,方向相反,相加等於八度。轉爲音程換算規則:增─減,大─小,純─純,如增二度轉位後爲減七度,大三度轉位後爲小六度。
  • 平行調:主音相同,關係調:主音不同,音名全同。
  • 律制:規定音階中各箇音高的方法。
  • 律學:研究律制的學問。

發音原理

樂器根據發音原理可分爲五類:

弦振

弦振截止之處稱爲節點,弦振中心稱爲腹點。一根弦分節振動,同時包含基音、二倍音、三倍音……人爲迫使弦分節振動的就稱爲泛音。可以想見,五徽弦的 13 泛音和按音音高相同,九徽弦的 23 泛音是按音的兩倍。

氣振

運用超吹的方法,可以使倍音轉化爲基音類似弦振的泛音。管子分爲開管與閉管,開管兩端敞開,閉管有一端封閉,同樣長度,開管比閉管高八度。氣柱長度比管子長度略長,因而需要進行管口校正。

膜振

膜振不能發出整數倍的音,因而音高模糊不定。

體振

鑼、鈸、鐘等。

電振

各種電音。

二、音律計算法

  • 只有「頻率比」纔能表示聽覺上的音程大小,因此計算時是以「乘積」爲基準,而不是簡單的「乘法」,涉及乘積的運算爲指數、對數、開方。當音程爲 x 軸,頻率比爲 y 軸時,是一箇指數函數;當頻率比爲 x 軸,音程爲 y 軸時,是一箇對數函數。用對數把頻率比化爲音程之後,就可以進行加減運算了。
  • 計算音律時一般限於一箇八度之內,因此升降多少次之後還有乘或除以多少箇 2。
  • 兩音程之和的頻率比=兩音程頻率比相乘,兩音程之差的頻率比=兩音程頻率比相除。 如,純四度和純律大三度之和爲純律大六度,其頻率比爲 43 × 54 = 53

音程値有四種:對數値、八度値、音分値、平均音程値。

對數値

對數値 = lg頻率比。八度的對數値 = lg2 ≈ 0.30103。

這裏指的對數値是以 10 爲底數所取的値。以 2 爲底數的値稱爲八度値。八度値和音分値更加直觀,因此我不用對數値。

八度値

用 1 表示八度的音程,對數値的欲求値:八度値的欲求値 = 對數値的八度値 : 八度値的八度値 = 0.30103 : 1,因此八度値 = 對數値 × 3.32193。

但其實不用上述這麼算。八度値 = log2頻率比

至於爲什麼底數是 2?頻率比爲 x 軸,八度値爲 y 軸的對數函數,當頻率比爲 2 時,八度値爲 1,卽 1=loga2,所以 a=2。

音分値

以十二平均律爲標準計算其他律制音程。把一箇八度分爲 1200 份,卽音分値=1200*八度値。每箇半音的音程爲 100 音分。1 音分等於{\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}},近似 1.0005777895。

平均音程値

八度爲 6,半音爲 0.5,一般保留小數點後 2 位。

三、五度相生律

產生法

五度相生法:隔五度相生。向上:一直乘 32 純五度,再除以多少箇 2。向下:一直乘 23 純四度,再乘多少箇 2。

下表爲 C 調/黃鐘均,卽從 C 出發,一箇八度內所有平均律的音。

C 向上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
頻率比 32 98 2716 8164 243128 729512 21872048 65614096 1968316384 5904932768 177147131072 531441524288
音分 702 204 906 408 1110 612 114 816 318 1020 522 23.46
音名 G D A E B #F #C #G #D #A #E #BC
律呂 林鐘 太簇 南呂 姑洗 應鐘 蕤賓 大呂 夷則 夾鐘 无射 仲呂 清黃鐘
C 向下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
頻率比 43 169 3227 12881 256243 1024729 40962187 81926561 3276819683 6553659049 262144177147 1048576531441
音分 498 996 294 792 90 588 1086 384 882 180 678 1176.54
音名 F bB bE bA bD bG bC bF bbB bbE bbA bbD
律呂

◎古琴十徽發的仲呂是 F 而非 #E。

古代三分損益法是以長度來進行計算的有先向上和先向下兩種算法,但結果都一樣

黃鐘 81林鐘 54太簇 72南呂 48姑冼 64應鐘 42 23蕤賓 56 89大呂 75 2327夷則 50 4681夾鐘 67 103243无射 44 692729仲呂 59 20392187清黃鐘

我們可以據此推出律呂和音名是如何對應的。可見,三分損益法其實全都是向上生的。

五度律面臨不能周而復始的問題:C 向上生 12 次,變爲 #B,不能回到 C。

半音與全音

五度律的半音分兩種,五度律小半音和大半音。小半音/自然半音:向下生 5 次,(23)5 × 23 = 256243 90 音分

大半音/變化半音:向上生 7 次,(32)7 /24 = 21872048 114 音分

大全音:向上生 2 次,(32)2 ÷ 2 = 98 204 音分

最大音差 = 大半音 - 小半音 = 531441524288 ,24 音分

大全音=大半音+小半音

D小半音bE最大音差#D小半音E

大全音=8.5 箇最大音差,約等於 9,可把大全音分爲 9 份,從下方音開始數,下方音的升音大半音佔 5 份,上方音的降音小半音佔 4 份。純律小半音佔 3 份,純律大半音佔 5 份。

音階

五度律大音階:向上生 5 次,向下生 1 次。

音名 C D E F G A B C2
頻率比 1 98 8164 43 32 2716 243128 2
相鄰頻率比 1 98 98 256243 98 98 98 256243
音分 0 204 408 498 702 906 1110 1200
相鄰音程 大全音 大全音 小半音 大全音 大全音 大全音 小半音

五度律自然小音階:向上生 2 次,向下生 4 次。

音名 C D bE F G bA bB C2
頻率比 1 98 3227 43 32 12881 169 2
相鄰頻率比 1 98 256243 98 98 256243 98 98
音分 0 204 294 498 702 792 996 1200
相鄰音程 大全音 小半音 大全音 大全音 小半音 大全音 大全音

和聲小音階:在自然小音階的基礎上換用大音階的導音第七音級

音名 C D bE F G bA B C2
頻率比 1 98 3227 43 32 12881 243128 2
相鄰頻率比 1 98 256243 98 98 256243 1968316384 256243
音分 0 204 294 498 702 792 1110 1200
相鄰音程 大全音 小半音 大全音 大全音 小半音 增二度 小半音

另外,關於三種小調的產生原理,可以看好和弦的 這期視頻

四、純律

純律是三種律制中最複雜的。

音階

純律按照大三和弦生律。純五度加大三度組成大七度,純五度減大三度組成小三度。當構成大三和弦 C─E─G、F─A─C、G─B─D 時,用純律㝡和諧。

大音階

在五度律純五度基礎上加入五倍音純律大三度頻率比 5/4,386 音分而成。如下圖:

text

音名 C D E F G A B C2
頻率比 1 98 54 43 32 53 158 21
音分 0 204 386 498 702 884 1088 1200
相鄰音程 一度 大全音 小全音 大半音 大全音 小全音 大全音 大半音

純律大調 EAB 三箇都比五度律大調低一箇普通音差,加下劃線表示比五度律同名音低一箇普通音差,兩箇下劃線表示低兩箇普通音差。

自然小音階

在五度律純五度基礎上加入五倍音到六倍音的音程純律小三度頻率比 6/5,316 音分而成。如下圖:

text

音名 C D bE F G bA bB C2
頻率比 1 98 65 43 32 85 95 21
音分 0 204 316 498 702 814 1018 1200
相鄰音程 一度 大全音 大半音 小全音 大全音 大半音 大全音 小全音

純律小調 EAB 三箇都比五度律大調高一箇普通音差。

和聲小音階

把自然小音階品的導音 bB 改爲 B

音名 C D bE F G bA B C2
頻率比 1 98 65 43 32 85 375192 21
音分 0 204 316 498 702 814 1088 1200
相鄰音程 一度 大全音 大半音 小全音 大全音 大半音 增二度 大半音

純律音系網

text

右上比左下高大三度粗斜線,左上比右下高小三度細斜線,下一行的同名律比上一行高一箇普通音差,右方比左方高純五度,這樣就可以求得相應的頻率比了。相距一箇大三度和小三度的,爲小半音;相距一箇純五度和大三度的,爲大半音。

需要注意的是,選取不同的調時,該調中的各音需要在完整的在這幅圖中,如 D 調的主音是 D 而非 D。其實音系網可以无限擴張,但有意義的就是圖中那麼多,這就是爲什麼一箇調的所有音一定要全部在圖中。

全音和半音

由於 E 較低,因此 D─E 音程較小,稱爲小全音,頻率比 10/9,182 音分。

大全音同五度律。

「普通音差」「諧調音差」簡稱「音差」= 大全音 ﹣ 小全音 = 8180 ,22 音分。

E─F 音程較大,稱爲純律大半音 / 變化半音,頻率比 1615 ,112 音分。

C 大調中,C 和 D 之間的兩箇半音我們選 # C多一箇空格表示兩條下劃線,html 不支持雙下劃線的樣式和 bD,爲何選這兩箇而不選 #C 和 b D呢?一箇訣竅:在音系圖上找連接次數最少的。可以算出 C 到 # C 頻率比 25/24,71 音分純律小半音,bD 頻率比 16/15,112 音分純律大半音

大半音﹣小半音=128/125,41 音分=1 大第西斯。

D小半音# D大第西斯b E小半音E

五、十二平均律

含義:十二箇相鄰半音頻率比相同。

產生法

五度律向上生 12 次,得到 #B,與 C 相差最大音差 24 音分,現在若把每次相生的純五度都減小最大音差的 1/12,卽 2 音分,就可以回到 C 了。五度律每次向上生 702 音分,所以平均律向上升 700 音分,換算成頻率比,700=1200log2x,x=2712=433289當然,用音分算本應是小數,會有點誤差,不過略方便理解

下表爲平均律 C 調/黃鐘均,卽從 C 出發,一箇八度內所有平均律的音。

C 向上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
頻率比 433289 449400 3722 6350 16889 14099 8984 10063 4437 9855 303227 21
音分 700 200 900 400 1100 600 100 800 300 1000 500 1200
音名 G D A E B #F #C #G #D #A F C2
律呂 林鐘 太簇 南呂 姑洗 應鐘 蕤賓 大呂 夷則 夾鐘 无射 仲呂 清黃鐘

半音

既然向上升向下生結果都一樣了,便出現同音異名現象:C=#B bbD,#C=xB bD,D=xC bbE,#D=bE bbF,E=xD bF,F=#E bbG,#F=xE bG,G=xF bbA,#G=bA,A=xG bbB,#A=bB bbC,B=xA bC。

音階

調號對應圖:

自然大調
音名CDEFGABC
音分020040050070090011001200
自然小調
音名ABCDEFGA
音分020030050070080010001200

六、三種律制的比較

  • 98 大全音、 43 純四度、 32 純五度同時存在於五度相生律和純律。
  • 可以看出,大音階中,五度律有六箇音比平均律高,純律有六箇音比平均律低,且平均律更接近五度律。

下爲音程表。從 C 開始排列。除了大全音、純八度、純四度、純五度和純律相同,其他音程前都加「五度律」

五度律:

音名 C #B bD #C bbE D bE #D bF E F #E bG #F bbA G bA #G bbB A bB #A bC B bbD
音程 純一度 最大音差/增七度 小半音/小二度 大半音/增一度 減三度 大全音/大二度 小三度 增二度 減四度 大三度 純四度 增三度 減五度 增四度 減六度 純五度 小六度 增五度 減七度 大六度 小七度 增六度 減八度 大七度 減二度
音分 0 24 90 114 180 204 294 318 384 408 498 522 588 612 678 702 792 816 882 906 996 1020 1086 1110 1176

純律:

text

B─F 爲減五度, 6445 ,610 音分,F─B 爲增四度, 4532 ,590 音分D─A 爲狹五度, 4027 ,680 音分。

平均律:

音名 C #C D #D E F #F G #G A #A B C
音程 純一度 增一度、小二度 大二度、減三度 增二度、小三度 大三度、減四度 增三度、純四度 增四度、減五度 純五度、減六度 增五度、小六度 大六度、減七度 增六度、小七度 大七度、減八度 純八度
音分 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

彩蛋

說了那麼多,我們來點直觀的。

音頻 1 依次是五度律、平均律、純律,A=440 和 #C 大三度和弦。檢驗你耳力的時候到啦,#C 依次是 556.88、554.4、550,是不是純律聽著最和諧呀(備用 1

音頻 2 440 分別和以下對比:五度律最大音差 446,五度律小半音 463.54,五度律大半音 469.86,大全音 495(備用 2

音頻 3 平均律半音 466.19,全音 493.9(備用 3

音頻 4 純律大第西斯 450.56,純律小半音 458.33,純律大半音 469.33,小全音 488.89(備用 4

柯棋瀚

作者

柯棋瀚 me (at) kqh.me

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